昨天重读了《通往财富自由之路》专栏第28周的文章《全部押上意味着什么》，文章提到了凯利判据（Kelly Criterion）。该公式适用于类似赌博那种输了就一点本金都拿不回来的场景，用于计算最优单次下注占比。公式的表达式如下：
f = [ p ( b+a ) - a] / b
公式也可以写成：
f = (pb + pa - a) / b = [pb - (1-p)a] /b
其中：
f - 合适下注占比
a - 单次下注金额
b - 每次下注a之后如果赢了可以拿回的净利
p - 赢的概率
举个例子。如果一次赌局，本金a = 1；赢了本金翻倍，即 b = 1；赢的概率为60%，即 p = 60%，那么：
f = [ 0.6 (1+1) -1] / 1 = 0.2。
也就是说，如果在一次要么赔光，要么翻倍的投资中，若是有60%的胜算，投资总资产的20%是最优解。换句话说，对理性的投资者来说，在这种情况下，投资20%已经相当于all in了。
那么，这个公式真的是可行的吗？
其实，求最优单次下注比可以理解为这样一个问题：
有一个赌局，每投入1份本金，赢的概率是p，赢的净收益是W，输的概率是 q = 1 - p，净损失为L。我们每次投入的比例是x，收益为f（x）。目标当然是收益最大化。
我们可以得出收益的函数表达式为：
F(x) = (1+Wx)^p * (1-Lx)^q
也就是说，我们需要知道 f(x) 最大值的解。
对函数 f(x) 求导，令 f’(x) = 0 以解得极大值。
F’(x) = Wp(1+Wx)^(p-1) * (1-Lx)^q - Lq(1+Wx)^p * (1-Lx)^(q-1) = 0
简化得：
Wp/(1+Wx) - Lp/(1-Lx) = 0
解得：
x = (Wp - Lq) / LW
当L = 1，即输了全赔的情况下，便得到凯利判据。
很多情况下，生活中许多事情都可以看做应用题，数学便是解开谜团的钥匙。如何把具体问题抽象出已知未知，并找到各种因素之间的关联，是我们需要刻意练习的。
反思自己，连曾经学过的求导都几乎忘记，更别说独自完成证明过程了。之前只是听说拿不超过自己资产的20%的闲钱来投资，但却从来没有想过为什么是20%。更没有想过，这些都是可以计算的，并且已经有人计算并完成了证明。认知的差别，让我还在黑灯瞎火里找不着方向处处碰壁时，别人已经发明了指南针绘制了地图向目标前进。
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