密码学系列 - 签名

签名是用于消息的认证，保证该条消息不被伪造。本文主要讨论RSA签名、DSA、ECDSA 和 Schnorr 签名算法。

RSA签名

安全性建立在大数分解问题

公钥：E、N
私钥：D、N
签名：签名 = 消息^D mod N
验证：消息' = 签名^E mod N ，如果消息'==消息则验证成功

DSA

由NIST(美国国家标准技术研究所)1991年制定的数字签名技术规范，是Schnorr算法的变体。

安全性建立在离散对数问题

密钥生成(1024bits)：

1. 生成素数 p，
2. 找到 p-1 的一个素数 q，且
3. 找到 ord(a)=q 的元素 a，a 生成了拥有 q 个元素的子群
4. 生成随机数，0 < d < q
5. b = mod p
6. 则密钥对为： = (p,q,a,b)， = (d)

签名生成：

1. 随机生成一个整数最为随机的临时密钥 ，且满足 0 < < q。
2. 计算 r = ( mod p) mod q
3. 计算 s = (SHA(x)+d * r) mod q

签名的验证：

1. 计算辅助值 w = mod q
2. 计算辅助值 = w * SHA(x) mod q
3. 计算辅助值 = w * r mod q
4. v = ( mod p) mod q
5. v' = r mod q，如果 v == v' 则签名正确

Golang SDK dsa 签名过程代码：

for attempts = 10; attempts > 0; attempts-- {
        k := new(big.Int)
        buf := make([]byte, n)
        for {
            _, err = io.ReadFull(rand, buf)
            if err != nil {
                return
            }
            //生成随机数密钥
            k.SetBytes(buf)
            // priv.Q must be >= 128 because the test above
            // requires it to be > 0 and that
            //    ceil(log_2(Q)) mod 8 = 0
            // Thus this loop will quickly terminate.
            if k.Sign() > 0 && k.Cmp(priv.Q) < 0 {
                break
            }
        }

        //求密钥的逆
        kInv := fermatInverse(k, priv.Q)

        //计算 r
        r = new(big.Int).Exp(priv.G, k, priv.P)
        r.Mod(r, priv.Q)

        if r.Sign() == 0 {
            continue
        }

        z := k.SetBytes(hash)

        //计算s
        s = new(big.Int).Mul(priv.X, r)
        s.Add(s, z)
        s.Mod(s, priv.Q)
        s.Mul(s, kInv)
        s.Mod(s, priv.Q)

        if s.Sign() != 0 {
            break
        }
    }

ECDSA

安全性建立在基于椭圆曲线的离散对数问题

密钥的生成：

1. 使用曲线 E

   • 模数为 p
   • 系数为 a 和 b
   • 生成元为 G，G 生成的循环群的阶(即元素的个数)为 n

2. 选择一个随机数 d，0 < d < n

3. 计算 K = dG

4. 密钥对则为： = (K)， = (d)

签名的生成(x 为消息)：

1. 随机生成一个整数最为临时密钥 ，且 0 < < q。
2. = G
3. r = mod n
4. s = (hash(x)+d * r) mod n

签名的验证：

1. 计算辅助值 w = mod n
2. 计算辅助值 = w * hash(x) mod n
3. 计算辅助值 = w * r mod n
4. = G + K
5. 如果 == r mod n，则签名有效

Golang SDK ecdsa 签名过程代码：

for {
        for {
            k, err = randFieldElement(c, csprng)  //生成临时密钥
            if err != nil {
                r = nil
                return
            }

            //计算 k的逆
            if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
                kInv = in.Inverse(k)
            } else {
                kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
            }

            //计算 r
            r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
            r.Mod(r, N)
            if r.Sign() != 0 {
                break
            }
        }

        e := hashToInt(hash, c)
        //计算 s
        s = new(big.Int).Mul(priv.D, r)
        s.Add(s, e)
        s.Mul(s, kInv)
        s.Mod(s, N) // N != 0
        if s.Sign() != 0 {
            break
        }
    }

pubkey recovery：

从签名信息中恢复公钥

比特币跟以太坊都有实现，但最终的签名信息序列化格式不同

// btc 中的格式
<(byte of 27+public key solution)+4 if compressed >< padded bytes for
signature R><padded bytes for signature S>

// 以太坊中的格式
[R || S || V] format where V is 0 or 1.

以太坊中的 go 实现也引用了btcd的代码，所以需要转换一下，具体可参考以太坊代码signature_nocgo.go

另：btc签名脚本中同时含有签名和公钥

公钥长度：

• compressed： 65 byte （1+32+32）
• uncompressed： 33 byte （1+32 ）

Schnorr