十进制小数转二进制原理

十进制转二进制的整数部分容易理解，但小数部分如何转换呢？

这里复习下进位计数制表示法:
比如 (11.5) ₁₀ = (1011.1)₂
(11.5) ₁₀ = 1* 10¹ + 1* 10⁰ + 5* 10^-1
(1011.1)₂ = 1* 2³ + 0* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰+1* 2^-1

所以对于任意十进制数的小数部分F转换为二进制都可以写为:

F = a₁* 2^-1 + a₂* 2^-2 + a₃* 2^-3 +... a_n*2^-n
(基数为2，所以a₁ 到 a_n要么为0 要么为1)

比如 0.8 = a₁* 2^-1 + a₂* 2^-2 + a₃* 2^-3 +... a_n*2^-n ，可以理解为0.8 包含了a₁个2^-1以及a₂个2^-2 ...。 求a₁ a₂... a_n

因为 0.8 / 2^-1 = 1.6 所以a₁ 可取1.6 。 又由于基数为2, a₁ 到 a_n要么为0 要么为1。 所以a₁ 只能取1。

得出
F - a₁* 2^-1 = a₂* 2^-2 + a₃* 2^-3 +... a_n2^-n
F - a₁ 2^-1 = F - 1 * 2^-1 = 0.6 * 2^-1
0.6 * 2^-1 = a₂* 2^-2 + a₃* 2^-3 +... a_n*2^-n

因为 0.6 * 2^-1/ 2^-2 = 1.2 ，按照上面的方式得出a₂ = 1
以此类推 得出a₃ = 0，a₄ = 0 ，a₅ = 1，a₆ = 1，a₇ = 0，a₈ = 0，a₉ = 1...

0.8 = 1* 2^-1 + 1* 2^-2 + 0* 2^-3 + 0* 2^-4+ 1* 2^-5...

由a₁ a₂... a_n表示成二进制 0.1100110011001100...无限循环下去。

计算机中小数又称为浮点数，分为尾数和指数部分，上面所求的就是尾数部分，由于计算机给尾数和指数所分配的位数有限，所以无法精确表示。