arctan(x)到导数

求解过程等
补充

心得：运用边长为1，设计三角形解决三角函数问题，如sin(x)的反函数即为角度为arcsin(x)的对边为x长的情况。

ln(x)的导数

ln(x)的导数

利用正反函数关系求导，easy！

初等函数

复合函数求导

复合函数求导

重点在第二步拆分，拆除外层函数和内层函数单独导数形式。

• 案例

  
  案例1

小心得：若函数以反函数作为自变量，则函数值为原始自变量。比如ln(x)和e^{x之间的关系，e}ln(x)=x或ln(e^x)=x。

泰勒

意义

• 一定条件下，用函数在某一点的值，求出函数在任一点的值。

  
  泰勒公式

物理意义：匀加速运动，距离，泰勒前三项。

泰勒的匀加速物理意义

证明基础

罗尔定理

• 在某个闭区间内可导，且两端相等的函数，其导数在此区间内必有至少一处为0。

考虑直线上运动，某段时间内回到起始点，那么这段时间内必有至少一次0速度（调头时速度为0）。

微分中值定理

• 某闭区间内可导的函数，区间内必有至少一处导数等于整个区间平均导数（或两端点的斜率）。

  
  微分中值定理

柯西中值定理

• 两个函数在共同区间，基于微分中值定理可知，区间内某一处的导数比值等于两个函数在区间两端函数差值的比值。或理解为，两函数在两端的斜率比值等于区间内某一点处量函数导数的比值。

  
  柯西中值定理

洛必达法则

• 当某点两个函数极限为0时，其函数比值极限可以转化为其导数比值的极限。

  
  洛必达法则

• 案例1

  
  洛必达应用案例1

技巧：将原函数修改成0比0形式，然后应用洛必达法则。

证明泰勒展开

• 关键在于高阶小量概念。某块儿的值相对于另一块的值微不足道。

  
  洛必达法则证明泰勒

• 再一个

  
  洛必达法则证明泰勒
  多次洛必达

之所以案例中选择高阶小量时选取x-x0或者x-x0的平方，是因为后面的项共同包含这部分，因此要假设与他们存在高阶小量，那么当x-x0趋近于0时，假定的部分自然更趋近于0。最终整个高阶小量被排除忽略。