同平面内，一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于两个直角的和，则这二直线（经无限延长后）在这一侧相交。
这个公设直接说的是，在何种情况下，两直线会相交。但并直接没有说，在何种情况下，两直线不相交。
而它的逆反命题是与之等价的，逆反命题是：
在同平面内，一条直线和另外两直线相交，若二直线在这一侧不相交，那么，这一侧的两个内角和大于或等于两个直角。
同样，只说了一侧不相交的情况，并没有提到“平行”。
平行线的存在性，是由外角定理决定的。
内错角可以看做“一个三角形的外角”，内错角相等的时候，没有办法构成三角形。假如内错角相等，依然构成三角形，那么，立刻得到的结论是：三角形的一个外角等于它的内对角。这同外角定理矛盾。
因此，内错角相等，在第一直线的两侧都不能构成三角形。也就是在两侧都不相交。那么，两直线是平行的。
外角定理蕴含“内错角相等，两直线平行”的命题。
也就蕴含“同旁内角互补，两直线平行”的命题。
那么，同旁内角不互补，情况会怎样？外角定理没有指出。而第五公设则专门指出，同旁内角不互补，必然有一侧的和小于两个直角，直线会在这一侧相交。
“不互补，就相交”是“互补，不相交”的否命题。否命题不是原命题的等价命题，并非总是成立。
“平行，则互补”是“互补，则平行”的逆命题。逆命题也并非等价命题，并非总成立。
第五公设，就是专门针对外角定理的逆命题来说，或者说是针对外角定理的否命题来说。不等同于外角定理。
最关键的，第五公设是不可证明的。
可以用其它命题代替，或者说“等价”，但不可证明，也不可却或。
用来代替第五公设的命题是平行公理，“经过直线外一点，最多可作一直线平行于已知直线。”
有时会用到外角定理的推论，把两者合并起来说，“经过直线外一点，有且仅有一条直线平行于已知直线。”这样的说法叫做Playfair公理。
总之，第五公设/平行公理/Playfair公理最厉害的地方不在于指出“过直线外一点，平行线是存在的”，指出“存在性”的是外角定理。
第五公设/平行公理/Playfiar公理最厉害的地方在于，规定，“过直线外一点，平行于已知直线的线，不多于一条。”
过直线外一点，作直线平行于已知直线。
这种直线
既存在，又不多于一。那么，就只能是：“有且仅有一条”。
因为是公设，所以，第五公设不需要证明。
公设和公理的含义一样，表示最直观的事实，是不需要证明的，同时也是无法证明的。
除了平行公理、Playfair公理以外，
第五公设有还有许多等价命题。历史上，许多试图证明第五公设的尝试，都有意或无意的使用了它们。包括：
- 勾股定理
- 三角形内角和定理（辅以阿基米德公理）
- 圆内接正六边形边长等于半径长
- 撒氏四边形的上底等于下底
- 三角形的中位线等于底边的一半
- 存在相似但不全等的三角形
- 存在四个角都是直角的四边形
- 可对任意三角形作外接圆
- 过角内一点，总能作直线与角的两边都相交
- 每个三角形的内角和都相同
等等。
既然有如此多的命题等价于第五公设，就表明了，在欧氏几何中，第五公设是不可缺的。
用三个字概括第五公设，可以叫作“小则交”。这个公设的地位非同一般。在实际证明其它问题的时候，当然可以直接使用。欧氏几何，广泛使用平行线的性质。
第五公设是神奇的。由于历史上人们对第五公设的研究，导致了新的几何学诞生。
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