详见: 漫画:什么是红黑树

一. 二叉查找树(BST)

A. 原理:

二叉排序树又称二叉查找树，也称二叉搜索树。

二叉查找树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树:

• 若左子树不空，则左子树上所有的结点值均小于或等于它的根结点的值。

• 若右子树不空，则右子数上所有结点值均大于或等于它的根节点的值。

• 左、右子树也分别为二叉排序树。

如图所示就是典型的二叉排序树:

二叉排序树.png

B. 优势：

我们试着查找下值为10的结点:

1. 查看根节点为9, 由于10大于9,因此查看右孩子13:

右孩子13.png

2. 由于10小于13,因此查看左孩子11:

左孩子11png

3. 由于10小于11,因此查看做孩子10，发现10正式要查找的节点:

结点10.png

这种方式正式二分查找的思想:查找所需的最大次数等同于二叉查找树的高度。

在插入节点的时候，也是利用类似的方法，通过一层一层比较大小，来找到新节点适合插入的位置。

C. 缺陷:

但尽管如此，二叉树仍然存在缺陷:

假设初始的二叉查找树只有三个节点，根节点值为9，左孩子结点值为8，右孩子结点值为12.

初始二叉查找树.png

接下来我们依次插入如下五个节点:7,6,5,4,3；依据二叉查找树的特性，得到如图所示:

image.png

从图可以看出查找性能大打折扣，几乎变成线性了。

那如何解决二叉查找树多次插入新结点而导致的不平衡呢？我们的主角红黑树应运而生。

二. 红黑树

A. 原理

红黑树是一种自平衡的二叉查找树。除了符合二叉查找树的基本特性外，还具有下列附加特性:

1.节点是红色或黑色
2.根节点是黑色
3.每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL节点)
4.每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5.从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

如图就是一棵典型的红黑树:

红黑树.png

正是因为这些规则的限制，才保证红黑树的自平衡。
红黑树从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的2倍。

当插入或删除节点的时候，红黑树的规则有可能被打破。这时候就需要做出一些调整，来继续维持我们的规则。

B. 自平衡

什么情况下会破坏红黑树的规则，什么情况下不会破坏规则呢？

举两个简单的 🌰:

1. 向原红黑树插入值为14的新节点:

image.png

如图所示，不会破坏红黑树的规则。

2.向原红黑树插入值为21的新节点:

image.png

由于父节点22是红色节点，因此这种情况打破了红黑树的规则4(每个红黑树的两个子结点都是黑色)，必须进行调整，使之重新符合红黑树的规则。

调整的方式有两种:变色和旋转

旋转又分成两种形式: 左旋转和右旋转

变色:

为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色节点变成黑色，或者把黑色节点变成红色。

下图所示是原红黑树的一部分，需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色，不符合规则4，所以把节点22从红色变成黑色。

image.png

但是凭空多出的黑色节点打破了规则5，所以需要继续把节点25从黑色变成红色:

image.png

此时又出现了节点25和节点27两个连续的红色节点，需要继续把节点27从红色变成黑色`。

image.png

左旋转:

逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。

如图所示:

左旋转.png

图中，身为右孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转:

顺时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。

如图所示:

右旋转.png

图中，身为左孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

C. 典型例子

我们以刚才插入节点21的情况为例:

插入节点21.png

首先，我们需要做的就是变色，把节点25及其下方的节点变色:

变色后.png

此时节点17和节点25是连续的两个红色，如果把节点17变成黑色节点？这样一来不仅打破规则5，而且根据规则2(根节点是黑色)，也不可能把节点13变成红色节点。

由此可见，变色已无法解决问题，我们把节点13看做X，把节点17看做Y,像刚才的示意图那样进行左旋转:

示意图.png 左旋转前.png 左旋转后.png

由于根节点必须是黑色节点，所以需要变色，变色结果如下:

变色后.png

这样还没结束，从图中可以看出，其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4，其他路径的黑色节点个数是3，不符合规则5。

这时候，我们需要把节点13看做X，节点8看做Y,像刚才示意图那样进行右旋转:

示意图.png 右旋转前.png 右旋转后.png

最后根据规则变色:

变色后.png

如此一来，我们的红黑树变得重新符合规则。这一个例子的调整过程比较复杂，经历了如下步骤：

变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色

三. 最后

飞翔.jpeg