最小二乘法

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...
对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：
（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。 （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。 （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。
　 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。
　样本回归模型：

其中ei
为样本（Xi,
Yi
）的误差
平方损失函数：

则通过Q最小确定这条直线，即确定 ，以 为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。
解得：

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

三. C++实现代码

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1 /* 2 最小二乘法C++实现 3 参数1为输入文件 4 输入 ： x 5 输出： 预测的y 6 / 7 #include<iostream> 8 #include<fstream> 9 #include<vector>10 using namespace std;11 12 class LeastSquare{13 double a, b;14 public:15 LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)16 {17 double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;18 for(int i=0; i<x.size(); ++i)19 {20 t1 += x[i]x[i];21 t2 += x[i];22 t3 += x[i]y[i];23 t4 += y[i];24 }25 a = (t3x.size() - t2t4) / (t1x.size() - t2t2); // 求得β1 26 b = (t1t4 - t2t3) / (t1x.size() - t2t2); // 求得β227 }28 29 double getY(const double x) const30 {31 return ax + b;32 }33 34 void print() const35 {36 cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";37 }38 39 };40 41 int main(int argc, char *argv[])42 {43 if(argc != 2)44 {45 cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;46 return -1;47 }48 else49 {50 vector<double> x;51 ifstream in(argv[1]);52 for(double d; in>>d; )53 x.push_back(d);54 int sz = x.size();55 vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());56 x.resize(sz/2);57 LeastSquare ls(x, y);58 ls.print();59 60 cout<<"Input x:\n";61 double x0;62 while(cin>>x0)63 {64 cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;65 cout<<"Input x:\n";66 }67 }68 }
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四. 最小二乘法与梯度下降法
最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值，那它们有什么区别呢。
相同
　　1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。　　2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：

\Delta =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}{(f_{\beta }(\bar{x_{i}} )-y_{i})^{2} }
其中 \bar{x_{i} } 为第i组数据的independent variable， y_{i} 为第i组数据的dependent variable， \beta 为系数向量。
不同　　1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对 \Delta 求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个 \beta ，然后向 \Delta 下降最快的方向调整 \beta ，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。

参考： http://blog.csdn.net/qll125596718/article/details/8248249

原文网址：http://www.cnblogs.com/iamccme/archive/2013/05/15/3080737.html