二分类问题的交叉熵
在二分类问题中，损失函数（loss function）为交叉熵（cross entropy）损失函数。对于样本点(x,y)来说，y是真实的标签，在二分类问题中，其取值只可能为集合{0, 1}. 我们假设某个样本点的真实标签为yt, 该样本点取yt=1的概率为yp, 则该样本点的损失函数为
-log(yt|yp)=-(ytlog(yp)+(1-yt)log(1-yp))
对于整个模型而言，其损失函数就是所有样本点的损失函数的平均值。注意到，对于该损失函数，其值应该为非负值，因为yp的取值在(0,1)之间。
自己实现的方法有问题？
在Python的sklearn模块中，实现二分类问题的交叉熵损失函数为log_loss()。我们尝试着运行官网中给出的例子，同时，用自己的方法实现该损失函数，其Python代码如下：
from sklearn.metrics import log_loss
from math import log # 自然对数为底
# 二分类的交叉熵损失函数
# 利用sklearn模块的计算结果
y_true = [0, 0, 1, 1]
y_pred = [[.9, .1], [.8, .2], [.3, .7], [.01, .99]]
sk_log_loss = log_loss(y_true, y_pred)
print('Loss by sklearn: %s.'%sk_log_loss)
# 利用公式计算得到的结果
Loss = 0
for label, prob in zip(y_true, y_pred):
Loss -= (label*log(prob[0])+(1-label)*log(prob[1]))
Loss = Loss/len(y_true)
print('Loss by equation: %s.'% Loss)
在y_pred中，每个样本点都对应一组概率，如果我们把第一个概率作为样本分类为0的概率，第二个概率作为样本分类为1的概率，我们就会得到以下的输出结果：
Loss by sklearn: 0.1738073366910675.
Loss by equation: 2.430291498935543.
我们惊讶的发现，两种方法得到的损失函数值竟然是不一样的。可是，貌似我们的计算公式也没有出问题啊，这到底是怎么回事呢？
这时候，我们最好的办法是借助源代码的帮助，看看源代码是怎么实现的，与我们的计算方法有什么不一样。
研究sklearn中的log_loss()源代码
sklearn模块中的log_loss()函数的源代码地址为：https://github.com/scikit-learn/scikit-learn/blob/ed5e127b/sklearn/metrics/classification.py#L1576 。
在具体分析源代码之前，我们应该注意以下几点（这也是从源代码中发现的）：
- 损失函数中的对数以自然常数e为底；
- 预测概率的值有可能会出现0或1的情形，这在公式中是无意义的。因此，该代码使用了numpy中的clip()函数，将预测概率控制在[eps, 1-eps]范围内,其中eps为一个很小的数，避免了上述问题的出现。
在log_loss()函数中，参数为：y_true, y_pred, eps, normalize, sample_weight,labels，为了分析问题的方便，我们只考虑该函数在所有默认参数取默认值时的情形。y_true为样本的真实标签，y_pred为预测概率。
对于样本的真实标签y_true, 源代码中的处理代码为：
lb = LabelBinarizer()
if labels is not None:
lb.fit(labels)
else:
lb.fit(y_true)
transformed_labels = lb.transform(y_true)
if transformed_labels.shape[1] == 1:
transformed_labels = np.append(1 - transformed_labels,
transformed_labels, axis=1)
也就说，当我们的y_true为一维的时候，处理后的标签应当为二维的，比如说，我们输入的y_true为[0,0,1,1]，那么处理后的标签应当为:
[[1 0]
[1 0]
[0 1]
[0 1]]
对于预测概率，源代码中的处理过程为
# Clipping
y_pred = np.clip(y_pred, eps, 1 - eps)
# If y_pred is of single dimension, assume y_true to be binary
# and then check.
if y_pred.ndim == 1:
y_pred = y_pred[:, np.newaxis]
if y_pred.shape[1] == 1:
y_pred = np.append(1 - y_pred, y_pred, axis=1)
也就说，当我们的y_true为一维的时候，处理后的标签应当为二维的，这跟处理样本的真实标签y_true是一样的。处理完y_true和y_pred后，之后就按照损失函数的公式得到计算值。
自己实现二分类问题的交叉熵计算
在我们分析完log_loss的源代码后，我们就能自己用公式来实现这个函数了，其Python代码如下：
from sklearn.metrics import log_loss
from math import log # 自然对数为底
# 二分类的交叉熵损失函数的计算
# y_true为一维，y_pred为二维
# 用sklearn的log_loss函数计算损失函数
y_true = [0,0,1,1]
y_pred = [[0.1,0.9], [0.2,0.8], [0.3,0.7], [0.01, 0.99]]
sk_log_loss = log_loss(y_true,y_pred)
print('Loss by sklearn: %s.'%sk_log_loss)
# 用公式自己实现损失函数的计算
Loss = 0
for label, prob in zip(y_true, y_pred):
Loss -= ((1-label)*log(prob[0])+label*log(prob[1]))
Loss = Loss/len(y_true)
print('Loss by equation: %s.'% Loss)
# y_true为一维，y_pred为一维
# 用sklearn的log_loss函数计算损失函数
y_true = [0,0,1,1]
y_pred = [0.1, 0.2, 0.3, 0.01]
sk_log_loss = log_loss(y_true,y_pred)
print('Loss by sklearn: %s.'%sk_log_loss)
# 用公式自己实现损失函数的计算
Loss = 0
for label, prob in zip(y_true, y_pred):
Loss -= ((1-label)*log(1-prob)+label*log(prob))
Loss = Loss/len(y_true)
print('Loss by equation: %s.'% Loss)
运行该函数，输出的结果为：
Loss by sklearn: 1.0696870713050948.
Loss by equation: 1.0696870713050948.
Loss by sklearn: 1.5344117643215158.
Loss by equation: 1.5344117643215158.
这样我们就用公式能自己实现二分类问题的交叉熵计算了，计算结果与sklearn的log_loss()函数一致。
感悟
有空就得读读程序的源代码，不仅有助于我们解决问题，还能给我们很多启示，比如log_loss()函数中的np.clip()函数的应用，能很好地避免出现预测概率为0或1的情形。
log_loss()函数的实现虽然简单，但阅读源代码的乐趣是无穷的。以后也会继续更新，希望大家多多关注。
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