行列式（一）- 行列式介绍

作者: mHubery | 来源:发表于2019-03-11 23:03 被阅读0次

行列式
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2019-03-20

矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式非零。

考虑 $\boldsymbol{A} = \left[ a_i\!_j \right],a_i\!_j \neq 0$ 。 $\boldsymbol{A}$ 的第二行和第三行都乘以 $a_1\!_1$ ，然后再分别减去第一行适当的倍数，则 $\boldsymbol{A}$ 行等价于下面两个矩阵：
$\begin{bmatrix} a_1\!_1 & a_1\!_2 & a_1\!_3 \\ a_1\!_1a_2\!_1 & a_1\!_1a_2\!_2 & a_1\!_1a_2\!_3 \\ a_1\!_1a_3\!_1 & a_1\!_1a_3\!_2 & a_1\!_1a_3\!_3 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} a_1\!_1 & a_1\!_2 & a_1\!_3 \\ 0 & a_1\!_1a_2\!_2 - a_1\!_2a_2\!_1 & a_1\!_1a_2\!_3 - a_1\!_3a_2\!_1\\ 0 & a_1\!_1a_3\!_2 - a_1\!_2a_3\!_1& a_1\!_1a_3\!_3 - a_1\!_3a_3\!_1\end{bmatrix}$
由于 $\boldsymbol{A}$ 可逆，故矩阵中(2,2)元素和(3,2)元素不同时为0.不妨假设(2,2)元素不等于零（否则，可以做一个行对换边变成这种情形）。在进行行化简：
$\boldsymbol{A}$ ～ $\begin{bmatrix} a_1\!_1 & a_1\!_2 & a_1\!_3 \\ 0 & a_1\!_1a_2\!_2 - a_1\!_2a_2\!_1 & a_1\!_1a_2\!_3 - a_1\!_3a_2\!_1\\ 0 & 0 & a_1\!_1\Delta\end{bmatrix}$
其中， $\Delta=a_1\!_1a_2\!_2a_3\!_3 + a_1\!_2a_2\!_3a_3\!_1 + a_1\!_3a_2\!_1a_3\!_2 - a_1\!_1a_2\!_3a_3\!_2 - a_1\!_2a_2\!_1a_3\!_3 - a_1\!_3a_2\!_2a_3\!_1 \tag{1}$ 。
由于 $\boldsymbol{A}$ 可逆，故 $\Delta$ 一定不等于零。我们称这个(1)式中的 $\Delta$ 为 $3 \times 3$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式。

$2 \times 2$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式: $det \;\boldsymbol{A}= a_1\!_1a_2\!_2 - a_1\!_2a_2\!_1$ 。 $1 \times 1$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式: $det \;\boldsymbol{A}=a_1\!_1$ 。利用 $2 \times 2$ 行列式来重写(1)中的行列式 $\Delta$ 。
$\begin{aligned}\Delta &= (a_1\!_1a_2\!_2a_3\!_3 - a_1\!_1a_2\!_3a_3\!_2) - (a_1\!_2a_2\!_1a_3\!_3 - a_1\!_2a_2\!_3a_3\!_1) + (a_1\!_3a_2\!_1a_3\!_2- a_1\!_3a_2\!_2a_3\!_1) \\ &= a_1\!_1 \times det \begin{bmatrix} a_2\!_2 & a_2\!_3 \\ a_3\!_2 & a_3\!_3\end{bmatrix} - a_1\!_2 \times det \begin{bmatrix} a_2\!_1 & a_2\!_3 \\ a_3\!_1 & a_3\!_3\end{bmatrix} + a_1\!_3 \times det \begin{bmatrix} a_2\!_1 & a_2\!_2 \\ a_3\!_1 & a_3\!_3\end{bmatrix}\end{aligned}$
为了简单，可写成 $\Delta=a_1\!_1 \times det \boldsymbol{A_1\!_1} - a_1\!_2 \times det \boldsymbol{A_1\!_2} + a_1\!_3 \times det \boldsymbol{A_1\!_3}$ ，其中 $\boldsymbol{A_1\!_1}, \boldsymbol{A_1\!_2}, \boldsymbol{A_1\!_3}$ 由 $\boldsymbol{A}$ 中删除第一行和三列中之一列而得到。

当 $n \geq 2, n \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[ a_i\!_j \right]$ 的行列式是形如 $\pm a_1\!_j det\;\boldsymbol{A_1\!_j}$ 的 $n$ 个项的和，其中加号和减号交替出现，元素 $a_1\!_1,\cdots,a_1\!_n$ 来自于第一行，用符号表示为：
$\begin{aligned} det \;\boldsymbol{A} &= a_1\!_1 \times det \;\boldsymbol{A_1\!_1} - a_1\!_2 \times det \;\boldsymbol{A_1\!_2} + \cdots + (-1)^{1+n}a_1\!_n \times \boldsymbol{A_1\!_n } \\ &=\sum_{j=1}^{n}{(-1)^{1+j}det \;\boldsymbol{A_1\!_j}} \end{aligned}$

计算行列式 $det \;\boldsymbol{A}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 5 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$
解：
$\begin{aligned} \Delta &= 1 \times det \begin{bmatrix}4 & -1 \\ -2 & 0\end{bmatrix} - 5 \times det \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 0 & 0\end{bmatrix} + 0 \times det \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 0 & -2\end{bmatrix} \\ &= 1(0 - 2) - 5(0-0) + 0(-4-0) = -2\end{aligned}$
方阵的行列式的另一个常用记号是利用一对竖线代替括号。这样，上式可写为：
$\Delta = 1 \times det \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 0\end{vmatrix} - 5 \times det \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0\end{vmatrix} + 0 \times det \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -2\end{vmatrix}=\cdots=-2$

给定 $\boldsymbol{A}=\left[ a_i\!_j \right]$ , $\boldsymbol{A}$ 的(i,j)余因子 $\boldsymbol{C_i\!_j}$ 表示为： $\boldsymbol{C_i\!_j}=(-1)^{i+j}detA_i\!_j$ ，则 $det \;\boldsymbol{A}=a_1\!_1 \times \boldsymbol{C_1\!_1} + \cdots + a_1\!_n \times \boldsymbol{C_1\!_n}$ 。这个公式称为按 $\boldsymbol{A}$ 的第一行的余因子展开式。
定理 1 $\;n \times n$ 矩阵的 $\boldsymbol{A}$ 的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算，按第 $i$ 行展开的余因子展开式为： $det \;\boldsymbol{A} = a_1\!_1\boldsymbol{C_i\!_1} + \cdots + a_1\!_n\boldsymbol{C_1\!_n}$ ；按第 $j$ 列的余因子展开式为： $det \;\boldsymbol{A} = a_1\!_j\boldsymbol{C_1\!_j} + \cdots + a_n\!_j\boldsymbol{C_n\!_j}$ 。(i,j)余因子中加号或减号取决于 $a_i\!_j$ 在矩阵中的位置，而于 $a_i\!_j$ 本身的符号无关。
定理 2 $\;$ 若 $\boldsymbol{A}$ 为三角形，则 $det \boldsymbol{A}$ 等于 $\boldsymbol{A}$ 的主对角线上元素的乘积。