行列式（一）- 行列式介绍

矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式非零。

考虑。的第二行和第三行都乘以，然后再分别减去第一行适当的倍数，则行等价于下面两个矩阵：
～
由于可逆，故矩阵中(2,2)元素和(3,2)元素不同时为0.不妨假设(2,2)元素不等于零（否则，可以做一个行对换边变成这种情形）。在进行行化简：
～
其中，。
由于可逆，故一定不等于零。我们称这个(1)式中的为矩阵的行列式。

矩阵的行列式:。矩阵的行列式:。利用行列式来重写(1)中的行列式。

为了简单，可写成，其中由中删除第一行和三列中之一列而得到。

当矩阵的行列式是形如的个项的和，其中加号和减号交替出现，元素来自于第一行，用符号表示为：

计算行列式，其中
解：

方阵的行列式的另一个常用记号是利用一对竖线代替括号。这样，上式可写为：

给定,的(i,j)余因子表示为：，则。这个公式称为按的第一行的余因子展开式。
定理 1 矩阵的的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算，按第行展开的余因子展开式为：；按第列的余因子展开式为：。(i,j)余因子中加号或减号取决于在矩阵中的位置，而于本身的符号无关。
定理 2 若为三角形，则等于的主对角线上元素的乘积。