树

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一棵树可以没有任何节点称为空树，可以只有一个节点root
一棵树可以分为多个子树组合，二叉树有左子树、右子树。
节点的度：这个节点子树的个数。上图的节点1度为5，节点2的度为2。
树的度：所有节点度中的最大值，上图的树的度为5
叶子节点：度为0的节点
层数：根节点在第一层，根节点的子节点在第二层。以此类推
节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数，如图22的深度为3
节点的高度：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数，如图22的高度为2
树的深度：所有节点深度中的最大值，图中树的深度为4
树的高度：所有节点高度中的最大值，图中树的高度为4

树的高度=树的深度

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有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系
无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系

二叉树

特点：

每个节点的度最大为2
左子树和右子树是有顺序的

以下都是二叉树

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二叉树的特性：

非空二叉树的第 i 层，最多有 2 ^ (i-1) 个节点（i >= 1）
在高度为 h 的二叉树上最多有 2 ^ h − 1 个结点（h >= 1）
对于任何一颗非空二叉树，如果叶子节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，则有：n0 = n2 + 1

推导过程：一个非空二叉树的节点总数n = n0 + n1 + n2。
每个节点头上都有一条边，除了root节点。所以总边数等于 n - 1，除去root节点
度为0的节点边数为0，度为1边数为节点数，度为2的为2倍的节点数
所以边数和节点的关系：n - 1 = 0 + n1 + 2 * n2，

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真二叉树

所有的节点度要不为0 要不为2

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满二叉树

最后一层节点的度都为0，其他节点的度为2

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假设满二叉树的高度为h（h >= 1），那么

第 i 层的节点数量：2 ^ ( i -1 )
叶子节点数量： 2 ^ (h-1)
总节点数量n：
n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(h-1) = 2^h -1
h = log2(n+1)

在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
满二叉树一定是真二叉树，但真二叉树不一定是满二叉树。

完全二叉树

对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应

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叶子节点只会出现在最后两层，最后一层的叶子节点都靠左对齐。
完全二叉树从根节点到倒数第二层是一颗满二叉树
满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树

下图不是完全二叉树

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完全二叉树的性质

度为1的节点只有左子树
度为1的节点最多有一个
同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小

假设完全二叉树的高度为h（h >= 1），那么

至少有2^(h-1)个节点：2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(h-2) + 1
最多有2^h - 1个节点： 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(h-1)
总节点数量n：
2^(h-1) <= n < 2^h
高度：
h − 1 ≤ log2n < h ===> h = floor( log2n ) + 1

一棵有 n 个节点的完全二叉树（n > 0），从上到下、从左到右对节点从 1 开始进行编号，对任意第 i 个节点

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如果 i = 1 ，它是根节点
如果 i > 1 ，它的父节点编号为 floor( i / 2 )
如果 2i ≤ n ，它的左子节点编号为 2i
如果 2i > n ，它无左子节点
如果 2i + 1 ≤ n ，它的右子节点编号为 2i + 1
如果 2i + 1 > n ，它无右子节点

一棵有 n 个节点的完全二叉树（n > 0），从上到下、从左到右对节点从 0 开始进行编号，对任意第 i 个节点

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如果 i = 0 ，它是根节点
如果 i > 1 ，它的父节点编号为 floor( (i -1)/ 2 )
如果 2i + 1 ≤ n - 1 ，它的左子节点编号为 2i + 1
如果 2i + 1 > n - 1 ，它无左子节点
如果 2i + 2 ≤ n - 1 ，它的右子节点编号为 2i + 2
如果 2i + 2 > n - 1 ，它无右子节点

面试题：
如果一棵完全二叉树有 768 个节点，求叶子节点的个数？

解题：384
假设叶子节点个数为 n0，度为 1 的节点个数为 n1，度为 2 的节点个数为 n2
总结点个数 n = n0 + n1 + n2，而且 n0 = n2 + 1
所以：n = 2n0 + n1 – 1

完全二叉树的 n1 要么为 0，要么为 1
n1为1时，n = 2n0，n 必然是偶数
叶子节点个数 n0 = n / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = n / 2
n1为0时，n = 2n0 – 1，n 必然是奇数
叶子节点个数 n0 = (n + 1) / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = (n – 1) / 2

叶子节点个数 n0 = floor( (n + 1) / 2 )= ceiling( n / 2 )
非叶子节点个数 n1 + n2 = floor( n / 2 ) = ceiling( (n – 1) / 2 )