【线性代数启示录3】线性相关和线性无关

作者: 东方胖 | 来源:发表于2022-08-10 11:20 被阅读0次

某些线性方程组的解有无穷多个，但是这些解可以用比较优雅的表示方法来表示
比如
$\boldsymbol A = \left (\begin{array}\\ 1 & 2 &-4 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{array} \right)$

$\boldsymbol b = (8, -2, 6)^\mathrm{T}$

方程 $Ax = b$ 的解可以表示为
$\boldsymbol x = c\left(\begin{array} \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}\right) + \left(\begin{array} \\ -4 \\ 6 \\ 0 \\ \end{array}\right)$

这种使用一个一维数乘以一个向量的组合方式，有一种形式上的优雅，
是不是线性方程组的任何解都可以映射到某组一维数，让它们满足这个线性表示？

自然会引出一些问题，对于上面这个例子的

方程组 $\boldsymbol {Ax} = \boldsymbol b$ 的解是不是都都可以表示成 $\boldsymbol x = c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2$ 的形式？
有没有更简单的形式比如 $\boldsymbol x = c\boldsymbol \xi$

两组向量 $\boldsymbol \xi_1, \boldsymbol \xi_2$ 之间如果是倍数关系，比如 $\boldsymbol \xi_1 = c\boldsymbol \xi_2$ , 那么
$\boldsymbol x = c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2 = (cc_1 + c_2)\boldsymbol \xi_2$ 方程组的解就可以写成更简单的形式

否则的话， $\boldsymbol \xi_1, \boldsymbol \xi_2$ 不是倍数关系，也就是说不存在任何常数 c 使得 $\boldsymbol \xi_1 = c\boldsymbol \xi_2$ ，再换个说法，当 $c_1c_2 \ne 0$ 时 , $c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2$ 永远不等于 $\boldsymbol 0$ , 它总是组合成一个非零的向量。
这就引出了线性无关的概念。
反过来就是线性相关。

再把两组向量的情况扩充到 n 组，就得到了 n 个向量线性相关和线性无关的概念
即如果存在不全为0的n个数 $c_1, c_2, ... , c_n$ 及向量 $\boldsymbol\xi_1, \boldsymbol\xi_2, ... , \boldsymbol\xi_n$ , 使得
$c_1\boldsymbol\xi_1 + c_2\boldsymbol\xi_2 + ... + c_n\boldsymbol\xi_n = \boldsymbol0$

那么说向量组 $\boldsymbol\xi_1, \boldsymbol\xi_2, ... , \boldsymbol\xi_n$ 线性相关。
反之说向量组线性无关。

由线性相关的概念继续探究方程组可以发现，一个 n × n 的矩阵什么时候有唯一的解，什么时候有无穷个解，什么时候它的解可以表示成 m (< n) 个线性无关的基底的线性表示？

唯一解的情形，增广矩阵 $(\boldsymbol A ,\boldsymbol b)$ 用高斯约化行的方式最后化成一个递降的三角型，并且把最左边的变量系数通过自除化成 1 ，那么如果到了最后一行，发现方程组可以简化成 $x_n = c$ 的形式，那么说明这个方程组有唯一的一个解，只需要逐层向上就可以递归地将这个唯一解求出来。
无解的情形。
如上，最后一个方程组约化成 $0x_n = c(c \ne 0)$ 这样
这是个不相容的方程，这个方程组变成矛盾方程组，因而是无解；
多解情形
最后一行在约化中如果消失了会怎么样？
这时候，变量 $x_n$ 可以是任何实数，那么最终 $Ax = b$ 的解可以表示成 $\boldsymbol x = c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2$
如果倒数第三个方程组也在高斯约化行的过程中消失，意味着 $x_{n-1}$ 也可以是任何数，这样的话， $Ax = b$ 的解最少需要三个线性无关的向量才能表示，为什么？—— 每个变量的解被表示成 $a_ix_{n} + b_ix_{n-1} + c_i$ 改成矩阵形式就是
$\boldsymbol x = x_n\left(\begin{array} \\ a_1\\ a_2 \\ ... \\ 1\\ 1\\ \end{array}\right) + x_{n-1}\left(\begin{array} \\ b_1 \\ b_2 \\ ... \\ 1\\ 1\\ \end{array}\right) + \left(\begin{array} \\ c_1 \\ c_2 \\ ... \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right)$

因此可以猜测，如果约化行消灭的行数是 n - r 那么方程组的解可以表示成 r + 1 个线性无关向量的组合。
实际上就是如此。

后记

启示录在于理解概念的来源，而非陈述教科书中的定理。
围绕线性相关和线性无关有许多命题和定理。比如，唯一表示定理，确定一组向量空间的线性无关的基 $\boldsymbol\xi_1, \boldsymbol\xi_2, ... , \boldsymbol\xi_n$ ，向量 $\boldsymbol x$ 存在一个唯一的表示
$\boldsymbol x = c_1\boldsymbol\xi_1 + c_2\boldsymbol\xi_2 +... + c_n\boldsymbol\xi_n$

这样的定理很好证明。比如唯一性我们可以假设有另一组表示，利用线性无关的概念，很容易推导出另一组表示是一模一样；存在性我们可以用反推，如果没有这样的表示，就可以把向量 $\boldsymbol x$ 扩充进去，向量空间的维数就会变大了，又矛盾了。
当然本文还没有言及向量空间的定义，维数这些概念。只是从方程组稍微延伸，一探线性相关的概念的雏形。

【线性代数启示录3】线性相关和线性无关

后记

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