【线性代数启示录3】线性相关和线性无关

某些线性方程组的解有无穷多个，但是这些解可以用比较优雅的表示方法来表示
比如

方程 的解可以表示为

这种使用一个一维数乘以一个向量的组合方式，有一种形式上的优雅，
是不是线性方程组的任何解都可以映射到某组一维数，让它们满足这个线性表示？

自然会引出一些问题，对于上面这个例子的

• 方程组 的解是不是都都可以表示成 的形式？
• 有没有更简单的形式比如

两组向量 之间如果是倍数关系，比如 , 那么
方程组的解就可以写成更简单的形式

否则的话，不是倍数关系，也就是说不存在任何常数 c 使得 ，再换个说法，当 时 , 永远不等于 , 它总是组合成一个非零的向量。
这就引出了线性无关的概念。
反过来就是线性相关。

再把两组向量的情况扩充到 n 组，就得到了 n 个向量线性相关和线性无关的概念
即 如果存在不全为0的n个数 及向量 , 使得

那么说向量组 线性相关。
反之说向量组线性无关。

由线性相关的概念继续探究方程组可以发现，一个 n × n 的矩阵什么时候有唯一的解，什么时候有无穷个解，什么时候它的解可以表示成 m (< n) 个线性无关的基底的线性表示？

• 唯一解的情形， 增广矩阵用高斯约化行的方式最后化成一个递降的三角型，并且把最左边的变量系数通过自除化成 1 ， 那么如果到了最后一行，发现方程组可以简化成 的 形式，那么说明这个方程组有唯一的一个解，只需要逐层向上就可以递归地将这个唯一解求出来。
• 无解的情形。
  如上，最后一个方程组约化成 这样
  这是个不相容的方程，这个方程组变成矛盾方程组，因而是无解；
• 多解情形
  最后一行在约化中如果消失了会怎么样？
  这时候，变量 可以是任何实数，那么最终 的解可以表示成
  如果倒数第三个方程组也在高斯约化行的过程中消失，意味着 也可以是任何数，这样的话， 的解 最少需要三个线性无关的向量才能表示，为什么？—— 每个变量的解被表示成 改成矩阵形式就是
  

因此可以猜测，如果约化行消灭的行数 是 n - r 那么方程组的解可以表示成 r + 1 个线性无关向量的组合。
实际上就是如此。

后记

启示录在于理解概念的来源，而非陈述教科书中的定理。
围绕线性相关和线性无关有许多命题和定理。比如，唯一表示定理，确定一组向量空间的线性无关的基 ，向量 存在一个唯一的表示

这样的定理很好证明。比如唯一性我们可以假设有另一组表示，利用线性无关的概念，很容易推导出另一组表示是一模一样；存在性我们可以用反推，如果没有这样的表示，就可以把向量 扩充进去，向量空间的维数就会变大了，又矛盾了。
当然本文还没有言及向量空间的定义，维数这些概念。只是从方程组稍微延伸，一探线性相关的概念的雏形。