理解重子共振态的进展（翻译）

作者: zywang714 | 来源:发表于2020-03-06 07:52 被阅读0次

理解重子共振态的进展（翻译）
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doi:10.1088/0034-4885/76/7/076301

1. 引言

2. 重子谱

重子是参与强相互作用的费米子，所有已知的重子都符合 $qqq$ 结构，所以重子数 $B=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1$ 。尽管有一些奇异重子被提出，如由4个夸克和1个反夸克组成的五夸克重子（ $B=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}=1$ ），但它们的存在没有被广泛承认。量子色动力学允许七夸克态和九夸克态存在。只由 $u$ 、 $d$ 夸克组成的重子，自旋为 $I=\tfrac{1}{2}$ 的称为核子，自旋为 $I=\tfrac{3}{2}$ 的称为 $\Delta$ 共振态。...

2.1. 由 $u$ 、 $d$ 和 $s$ 夸克构成的重子

2.2. 含有重夸克的重子

2.3. 轻重子的命名规则

3. 重夸克重子

3.1. 已知的重子

3.2. 实验方法和主要的实验

3.3. 含粲重子谱的最近结果

3.3.1. $\Lambda_{c}$

3.3.2. $\Sigma_{c}$

3.3.3. $\Xi_{c}$

3.3.4. $\Omega_{c}$

3.3.5. 含两个粲夸克重子的研究现状

3.4. 含底夸克重子的最近结果

3.4.1 $\Lambda_{b}$

3.4.2 $\Sigma_{b}$

3.4.3 $\Xi_{b}$

3.4.4 $\Omega_{b}$

4. 轻夸克重子

4.1. 从截面到重子参数

与重重子相反，在质量分布或截面测量中，轻重子通常不是狭窄的、孤立的峰。事实上，检查 $\pi N$ 的全部或弹性散射截面，显示其有三个或四个结构。从这些完成的测量中，以某种方法提取了一些激发态核子和 $\Delta$ 重子的参数。这是如何做到的呢？我们通过讨论 $\pi N\to\pi N$ 过程来阐明这些挑战。
用两个复振幅来描述 $\pi N\to\pi N$ 过程。它们可以是螺旋度振幅，横向极化振幅，Chew–Goldberger–Low–Nambu (CGLN)振幅，或者定义在某种其他规范的振幅。这些振幅都是复振幅，意味着这个过程每一个运动学的点都需要四个实数来描述。重子共振态可能来自于该过程产生的中间媒介态，这些信息也包含在振幅里。因此，所需要的任务就是从观测量中提取这些振幅，这在振幅中必然是双线性的。
...
在接下来的章节中，我们讨论不同实验组对共振态的观测结果。我们强调观测结果实际上意味着提取，这意味着共振态的加入改善了对现有数据的拟合。

4.2. 已知的重子

2012年版的粒子物理回顾（RPP）中，存在证据在3星和3星以上的 $N^{*}$ 共振态和 $\Delta$ 共振态，PDG分别列出了17个和10个。与上一版有明显的变化。在 $N^{*}$ 簇中，新加入一个新的3星级共振态 $N(1875)\tfrac{3}{2}^{-}$ ，另一个共振态 $N(1900) \tfrac{3}{2}^{+}$ 被升为3星级，还有几个额外共振态被加入，以及三个共振态被移除。在 $\Delta$ 簇中，一个负宇称的共振态 $\Delta(1940) \tfrac{3}{2}^{-}$ 被升级为2星。这两个簇在2010年版本以来还从未改变过。

4.3. 实验方法和重要的实验

轻味重子共振态的研究可以采用很多不同的产生机制。大多数实验室采用固定靶实验，通过不同种类的强子的或电磁的束流去诱导反应。著名的例子是 $\pi$ 介子、电子和光子束流，也有的采用 $K$ 介子和质子束流。
重子可以在没有反冲粒子的情况下通过形成(而不是产生)实验直接形成，因此可以在截面上识别它们，比如反应 $\pi^{+}p\to\Delta^{++}\to p\pi^{+}$ 。在图12中，尽管这些宽峰存在强烈的重叠，它们仍都可被认为是短寿命态。基于可用束流的特性，该方法只能产生奇异数 $S\le 1$ 的共振态。一个更常规的方法是在产生实验中产生重子。一个显著的例子是超子的光致作用，比如 $\gamma p\to KY^{*}$ ，这里超子伴随一个奇异味的介子产生。又比如 $\Xi$ 、 $\Sigma$ 和 $\Lambda$ 共振态的产生可通过 $Y^{*}\to K \Xi$ 。还有一种可选择的方法是在重介子的衰变中产生激发态核子，比如 $J/\psi$ 和 $\psi(2S)$ 。
在本章节中，我们讨论了重子态不同的产生机制和能够被实验确定的相关观测结果。一个主要试验的简要介绍将被给出。正如在4.1章节所指出，分波分析被认为是提取共振态贡献的最强力的工具。因此，我们将在本章最后一节简要回顾一些分波分析方法。

4.3.1. 用强子探针产生重子

4.3.2. 电磁感应反应中的重子

4.3.2. 重介子衰变产生的重子

近些年来，粲偶素（ $c\overline{c}$ ）介子的衰变被证明是一个研究激发态核子和激发态超子的绝佳场所。在 $J/\psi$ 衰变中研究激发态重子的产生有一个独特的优势，那就是同位旋过滤。比如在衰变 $J/\psi\to \bar{N}N\pi$ 中的 $\pi N$ 系统的同位旋被限制为 $\tfrac{1}{2}$ 。因此，激发态 $\Delta$ 重子就被排除了，但其他所有能在光生和电生作用实验中产生的激发态核子，也能够在粲偶素衰变中研究。表11显示了部分重介子衰变到一个重子、一个反重子和一个介子的分支比。除 $J/\psi$ 之外， $\psi(2S)$ 也可用于研究激发态重子。对于更重的介子，比如 $\psi(3770)$ 和B介子，虽然也观测到能够衰变为 $p\bar{p}+$ 介子，但分支比很小，导致可用的统计量不足以进行分波分析。
在 $J/\psi$ 和 $\psi(2S)$ 的衰变中进行的激发态核子研究，主要是在北京谱仪实验（BES）。升级后的 BES III 探测器是北京正负电子对撞机（BEPC II）上一个通用的螺线管型探测器，BEPC II 的能量范围为2-4.6GeV，在束流能量为 $1.88GeV$ 时峰值亮度目前已达到 $1.0 \times 10^{33} cm^{-2}s^{-1}$ 。带电粒子在以He气为工作气体的漂移室中探测，动量 $p=1GeV$ 时的动量分辨率为 $0.5\%$ 。...文献201给出了 BES III 更多详细的描述。本回顾引用的相关结果见文献202-211。
反应 $\psi(2S)\to p\bar{p}\pi^{0}$ 也在Mark-II合作组被研究过，和最近的CLEO。CLEO探测器已在章节3.2中讨论过。 $\psi(2S)$ 的衰变提供了一个比 $J/\psi$ 衰变更大的相空间，后者的相空间在 $p \bar{p}\pi^{0}$ 衰变道中将要寻找的 $N^{*}$ 的质量限制在 $M_{N^{*}}\approx 2.1GeV$ 。

4.4. 分波分析

近些年来，电磁诱导的介子产生反应积累了高统计量的数据集，为更好地理解激发态重子的性质提供了一个空前的机会。由于这些共振态较宽易重叠的特性，振幅分析或分波分析被应用于从数据中提取 $N^{*}$ 的参数。这些方法在 $\Delta$ 区间已经发展得很好，但在更高的能量下，情况变得复杂。需要考虑许多打开的衰变道，且任何可靠的共振态性质的提取都必须基于耦合道方法。一些研究组对我们理解重子共振态做过显著的贡献，但基于更大观测数据量的一个全面的分波分析仅在个别机构进行过。本节将要简要讨论这些方法。
通过采用不同的技术来提取核子共振态参数，分波分析在一些地方得到发展。对理论方法的详细讨论超出了本回顾的范畴，但少量一般性的评论是合适的。在大多数耦合道分析中，并不采用分波振幅，而是直接拟合散射或极化观测数据，如微分截面和总截面。共振态的质量和宽度可通过参数化Breit-Wigner来确定，但存在不止一种可能的Breit-Wigner极点参数化。K -矩阵形式用于同一分波中存在的重叠共振态，并提供了一种优雅的方式来确保振幅保持幺正性。根据T-矩阵和相关K-矩阵的迹的性质，Ceci等人（文献213）提出了一种不依赖Breit-Wigner参数化的从散射数据的多通道拟合中提取共振态参数的替代方法。然而，最近的一个研究（文献214）并没有发现T-矩阵极点和相关的K-矩阵极点存在简单的联系，且作者还指出K-矩阵极点通常不独立于本底的贡献。PDG在粒子表中给出了T-矩阵的极点。

4.4.1. SAID 和 MIAD

4.4.2. 杰弗逊实验室的激发态重子分析中心

4.4.3. $Gie\beta en$ 的耦合道分析

4.4.4. Bonn-Gatchina PWA

5. 轻夸克重子谱的最新结果

5.1. $\pi$ -核子散射实验

$N\pi$ 散射总截面里最显著的信号是 $\Delta(1232)$ ，见图12（ $p_{\pi^{\pm} } \approx 300MeV$ ）。更高质量的结构不止由一个共振态组成，采用Breit-Wigner公式不能得到共振态性质的可靠信息。Breit-Wigner公式（ $\Delta\sigma=4\pi\left(\frac{\hbar}{p_{c.m.}}\right)^{2}\left(J+\frac{1}{2}\right)x/(1+\epsilon^{2})$ ）描述了介子-核子散射总截面中一个自旋为J、质量为M的共振态的增强。（文献5）这里 $\epsilon=2(M-E_{c.m.}/\Gamma_{tot})$ ， $x=\Gamma_{el}/\Gamma_{tot}$ ，它们表示共振态的弹性，随质量增大而剧烈减小。如图12所示，因此总截面变得没有特征。随着共振态质量的增加，会得到越来越多的非弹性衰变道。图中所示的结构分别命名为第一、第二、第三等共振态区间。
...

5.2. K-核子散射实验

相对比较长寿命的 $\Sigma$ 重子的观测可通过强相互作用 $\pi^{-}p\to K^{+}\Sigma^{-}$ 来产生，但通过弱相互作用 $\Sigma^{-}\to n\pi^{-}$ 衰变，为此需要引入一个新的量子数：奇异数S。质量为 $(1197.449\pm0.030)MeV$ 的 $\Sigma$ 超子也可通过强相互作用衰变，但衰变为 $\Lambda\pi^{-}$ 在运动学上是被禁止的，因为 $M_{\Lambda}=(1115.683\pm0.006)MeV$ 。随后发现的大量奇异粒子证实了奇异数理论。核子同位旋二重态的奇异数 $S=0$ ，同位旋单态 $\Lambda$ 和同位旋三重态 $\Sigma$ 的奇异数 $S=-1$ ，同位旋二重态 $\Xi$ 的奇异数 $S=-2$ 。新的奇异量子数暗示强子谱内部存在 $SU(3)$ 对称性，通过增加一个奇异数为 $S=-1$ 的奇异夸克 $s$ ，核子简单的夸克模型被推广为味 $SU(3)$ 群。1964年，基于三个最轻夸克味道的“味 $SU(3)$ ”作为一个新的对称群被建立起来，它自然地将具有类似性质的强子分为它的多重态表示。

5.3. 电生实验

$N^{*}$ 的研究中一个重要的部分是探究不同距离尺度下的共振态跃迁，以便研究激发态核子的结构和三夸克系统的有效约束势。电子束流是研究此该共振态形状因子的理想工具。...

5.4. 光生实验

PDG上轻味重子共振态的绝大部分信息来自于 $\pi N$ 散射实验，但来自近来光生实验的过剩结果很可能将对粒子表有很大影响。在我们讨论从个别反应获得信息的价值之前，对比总 $\pi N$ 截面，讨论总光吸收截面是值得的。
大部分的信息light-flavour重子共振PDG报告的仍然是基于πN散射实验,但是过多的结果来自最近的光生实验可能会有一个大影响粒子上市。之前我们讨论的财富从个人的反应,所获得的信息是值得讨论的总光吸收截面与总πN截面。

5.5. $J/\psi$ 衰变中重子的观测

除通过与核子靶诱导反应来研究核子共振态外，还可在 $J/\psi$ 和 $\psi^{'}$ 衰变为重子、反重子和一个额外介子中进行重子研究。在反应如 $\psi^{'}\to p\bar{p}\pi^{0}$ 中，可以研究与 $p\pi^{0}$ 或 $\bar{p}\pi^{0}$ 耦合的 $N^{*}$ 共振态。在这类衰变中，由于同位旋守恒， $\Delta$ 共振态的贡献被排除了，极大地方便了这类分析。还可以研究激发态超子，如 $\Lambda^{*}$ 、 $\Sigma^{*}$ 和 $\Xi^{*}$ 。BES合作组发表了对 $J/\psi$ 和 $\psi(2S)$ 衰变到 $\Lambda\bar{\Lambda}\pi^{0}$ 和 $\Lambda\bar{\Lambda}\eta$ 的第一次测量（文献206），最近还给出了 $J/\psi\to\Lambda\bar{\Lambda}\pi^{+}\pi^{-}$ 衰变的分支比（文献211）。
BES在反应 $\psi^{'}\to p\bar{p}\pi^{0}$ （文献208）、 $\psi^{'}\to p \bar{p}\eta$ （文献202）和 $\psi^{'}\to p \bar{n}\pi^{-}$ （文献203）中对 $N^{*}$ 进行了研究。2005年，发表了 $\psi^{'}\to p\bar{p}\pi^{0}$ 和 $\psi^{'}\to p \bar{p}\eta$ （文献204），但最近才发表了分波分析的结果（文献209-210）。还发表了 $J/\psi\to p\bar{p}\omega$ （文献207）、 $\psi^{'}\to p \bar{n}\pi^{-}$ （文献205）和 $\psi^{'}\to\bar{p}n\pi^{+}$ （文献205）衰变的分支比，但统计性不足以进行分波分析。甚至在反应 $\psi^{'}\to\bar{p}n\pi^{0}\pi^{+}$ 中观测了双 $\pi$ 介子产生（文献205）。更多的，BES已经研究了 $J/\psi$ 和 $\psi^{'}$ 衰变到 $B_{8}\bar{B}_{8}(p\bar{p}, n\bar{n}, \Lambda\bar{\Lambda}, \Sigma^{0}\bar{\Sigma}^{0}, \Xi^{-}\bar{\Xi}^{+})$ （文献307-311）和 $\psi^{'}\to B_{10}\bar{B}_{10}(\Delta^{++} \bar{\Delta}^{--}, \Sigma^{+}(1385) \bar{\Sigma}^{-}(1385), \Xi^{0}(1530) \bar{\Xi}^{0}(1530), \Omega^{-} \bar{\Omega}^{+})$ （文献307）。在此类衰变中研究激发态超子仍有很大可行性。CLEO最近也发表了反应 $\psi^{'}\to p\bar{p}\pi^{0}$ 和 $\psi^{'}\to p \bar{p}\eta$ 的分波结果（文献29）。

6. 模型和现象

为更好理解重子结构，动力学必须被添加到前面章节提到的对称性理论。重子的理论研究与整个粒子物理学一样古老，且文献丰富。任何尝试用几页纸来概括海量资料的做法注定是徒劳的：有一些特定方法的评论文章，其篇幅超出了本评论的允许。对于选择要进行讨论的方法必须要严格，且只能给出简要的概述。
重子谱学的首要目标是理解重子内部相关的自由度，以及非微扰状态下强相互作用是如何产生所观测到的态。关于相关自由度、对称性和动力学的不同假设，将导致不同的能谱，其与实验结果的对比将有助于验证或否定一组假设或另一组假设。不幸的是，目前还没有哪个模型被完全排除。
尝试去理解重子内部结构和动力学的最普遍的做法，可能是通过某种夸克模型。最近格点的引入越来越成功，且采用了QCD的大 $N_{c}$ 限制。同全息模型一样，相对论束缚态方程也被应用于重子谱和性质的研究。在下面几个小节中，将讨论其中几个方法的要点。在文章的后面，给出了重子质量的数值预测，并将其与所讨论的方法进行了比较，同时也与从实验中提取的质量进行了比较。

6.1. 夸克模型

6.1.1. 非- 或半-相对论模型

组成夸克模型为重子结构提供了可能是最简单、最直观的认识。在QCD之前，该模型最初被构建作为一种分类体系，用来解释20世纪60年代在宇宙中发现的新粒子。该模型经历了不同程度的复杂化和精细化，并取得了不同程度的成功。这些模型的主要吸引力在于提供了一个简单的框架，在框架内可以整合和理解大量的现象。
在它最简单的版本中，夸克模型假设一个重子由三个价夸克组成，如图25所示。在夸克对之间交换的胶子的所有非微扰动力学都被认为是由一个势来模拟的，当夸克之间的距离很大时，这个势至少提供了预期的约束。因此通过求解在一个势中三个粒子运动的波函数方程即可得到重子谱。且尽可能将所讨论过的对称性加入模型的构建中。
重子的完整波函数写为 $\psi=\psi_{colour}\psi_{spin}\psi_{space}\psi_{flavour}$ 。由于重子是色单态， $\psi_{colour}$ 在交换任意一对夸克后是反对称的。因此 $\psi_{spin}\psi_{space}\psi_{flavour}$ 在交换任意一对夸克后必须是对称的。对于只由 $u$ 、 $d$ 和 $s$ 夸克构成的重子，波函数的味部分 $\psi_{flavour}$ 要按照章节2.1所讨论的表示来构造。
三个夸克的自旋可在全对称波函数下耦合为 $\tfrac{3}{2}$ ，也可在波函数的混合对称性下耦合为 $\tfrac{1}{2}$ 。自旋波函数的展开为 $\lvert\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\rangle_{S}=\lvert\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$ ， $\lvert\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\rangle_{\lambda}=-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\lvert\uparrow\downarrow\uparrow+\downarrow\uparrow\uparrow-2\uparrow\uparrow\downarrow\rangle$ ， $\lvert\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\rangle_{\rho}=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\lvert\uparrow\downarrow\uparrow-\downarrow\uparrow\uparrow\rangle$ 。这里下标表示全对称性（ $S$ ），交换前两个夸克对称性（ $\lambda$ ）和交换前两个夸克反对称性（ $\rho$ ）。
波函数的空间部分通过求解哈密顿方程得到，哈密顿方程把重子视为由三个价态夸克组成，它们通过一个势相互作用，势包括与自旋无关的限制项，以及任意数量的自旋依赖项。重子中夸克的动力学用雅克比坐标来描述， $\overrightarrow{\rho}$ 、 $\overrightarrow{\lambda}$ 和 $\overrightarrow{R}$ 与夸克位置有关， $\overrightarrow{\rho}=\frac{1} {\sqrt{2}}(\overrightarrow{r_{1}}-\overrightarrow{r_{2}})$ ， $\overrightarrow{\lambda}=\sqrt{\frac{2}{3}}(\frac{m_{1}\overrightarrow{r_{1}}+m_{2}\overrightarrow{r_{2}}}{m_{1}+m_{2}}-\overrightarrow{r_{3}})$ ， $\overrightarrow{R}=\frac{1}{M}(m_{1}\overrightarrow{r_{1}}+m_{2}\overrightarrow{r_{2}}+m_{3}\overrightarrow{r_{3}})$ 。这里 $M=m_{1}+m_{2}+m_{3}$ ， $\overrightarrow{\rho}$ 正比于夸克1和2之间的距离， $\overrightarrow{\lambda}$ 正比于夸克3与夸克1、2系统质心的距离。坐标归一化的选择是任意的。当所有夸克质量相同时， $\overrightarrow{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{6}} (\overrightarrow{r_{1}}+\overrightarrow{r_{2}}-2\overrightarrow{r_{3}})$ 。
在非相对论版本的夸克模型，哈密顿函数的动力学部分为 $T=\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}+m_{i}\right)$ ，它还可写为 $p_{\rho}$ 、 $p_{\lambda}$ 和 $p_{R}$ 的形式，动量与之前定义的雅克比坐标共轭，于是这部分哈密顿函数变为 $T=-\frac{\triangledown_{\rho}^{2}}{2m_{\rho}}-\frac{\triangledown_{\lambda}^{2}}{2m_{\lambda}}-\frac{\triangledown_{R}^{2}}{2M}+M$ 。这里 $m_{\rho}=\tfrac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ ， $m_{\lambda}=\tfrac{2}{3}\tfrac{m_{3}(m_{1}+m_{2})}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}$ 。于是波函数的空间部分可写为分离成分的和，即 $\psi_{space}=\sum\psi_{\rho}(\overrightarrow{\rho})\psi_{\lambda}(\overrightarrow{\lambda})$ ，其对质心坐标 $R$ 的依赖是很小的。在一些模型里，动能项做了相对论处理，即 $K_{i}=\sqrt{m_{i}^{2}+p_{i}^{2}}$ 。因为重子中夸克的动能被视为相对论性的，所以这种模型被称作“半相对论”版本，但这种模型缺乏洛伦兹协变性。
在这个重子的图像中，每个雅可比坐标可以是独立激发的，可以是径向的，也可以是轨道的，或者两者都是。重子总的轨道角动量 $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{\ell_{\rho}+\overrightarrow{\ell_{\lambda}}}$ ，总的角动量 $\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$ ，这里 $\overrightarrow{S}$ 是夸克总自旋。以此构成的重子的宇称 $P$ 为 $P=(-1)^{\ell_{\rho}+\ell_{\lambda}}$ 。
文献中有各种形式的势。很多模型认为夸克间的势是由交换胶子产生的。这类模型中，自旋无关的限制项被近似为线性形式和库仑势形式， $V_{conf}^{ij}=\left(\frac{br_{ij}}{2}-\frac{2\alpha_{Coul}}{3r_{ij}}\right)$ ，也有其他形式被采用过，如对数形式。在这类模型中，势自旋相关的部分取形式 $H_{hyp}^{ij}=\sum_{i<j=1}^{3}\left[V_{contact}(r_{ij})\frac{1}{m_{i}m_{j}}+V_{tensor}(r_{ij})\frac{1}{m_{i}m_{j}} \left(\frac{3S_{i}\cdot r_{ij}S_{j}\cdot r_{ij}}{r_{ij}^{2}}-S_{i}\cdot S_{j}\right)\right]$ ，这里函数 $V_{contact}(r_{ij})$ 和 $V_{tensor}(r_{ij})$ 是距离 $r_{ij}$ 的标量函数。这些函数因模型而异。例如，很多作者为 $V_{contact}(r_{ij})$ 采用狄拉克 $\eth$ 函数，而其他有些人则采用从原点就不那么单一的函数形式。此外，还有自旋-轨道相互作用，但其通常对能谱影响很小。
同重子的大多数模型一样，在这样的模型中，基态八重态和十重态的重子位于表2的(56, $0_{0}^{+}$ )中，表中还显示了属于其他多重态的激发态。如果忽略所有与自旋相关的相互作用，类似十重态，基态八重态就会岁味道而退化。例如联系超精细结构会移除简并，使得核子更轻， $\Delta$ 更重。例如张量和自旋-轨道相互作用会引起表2中其他超多重态混合，导致核子和 $\Delta$ 波函数的成分出现非零轨道角动量。自旋-轨道相互作用也会消除具有相同非零总轨道角动量和自旋但总角动量却不同的态之间的简并。与之对应的一个例子是 $\Lambda(1405)\tfrac{1}{2}^{-}$ 和 $\Lambda(1520)\tfrac{3}{2}^{-}$ 。
...

6.1.2. 相对论性方程

文献中由很多重子的相对论性处理。其中有如BS方程的束缚态方程，DS处理[316]，和QCD求和规则。所有的处理都很有技巧性，所以完整的描述超过了本评论的范畴。然而，这里会介绍其中一种方法的要点。
...

6.2. 格点

格点QCD是QCD的离散化版本[351][352]。无限多个闵可夫斯基时空点上场的路径积分近似为具有周期边界条件的欧几里德空间点阵上有限个点的积分。有限的格点间距提供了一个自动的紫外截止，而有限的盒子尺度提供了一个红外截止，这是至关重要的，因为任何从这种技术提取的物理将不受这些截止的影响。从格点得到的任何结果必须外推到无限箱体尺度和零格点间距的物理极限。
...

6.3. 其他方法

还有很多重子谱的处理方法，本文不再深入介绍。但有些值得一提。

6.3.1. 有效场论

6.3.2. 袋模型

6.3.3. QCD求和规则

6.3.4. 动态产生

6.3.5. 宇称二重态

6.3.6. 全息法

7. 讨论及开放性问题

要解决的一个重要问题是重子的相关自由度。重子是由三个夸克组成，还是一个夸克和一个双夸克组成，或者甚至是有一个非常不同的更复杂的结构呢？更好地理解已知共振态的性质和改进重子谱将有助于阐明这个问题。最近在轻重子领域进行的旨在发现新态或未发现态的光产生实验已经得到了一些候选态，但这些候选态中没有一个是不存疑的。值得再次指出的是，与重重子不同，确认一个新的轻重子态更具挑战性，因为这些发现不能从直接观测中推断出来的。

7.1. 重夸克重子

7.2. 轻夸克重子

在轻重子领域，我们首先注意到Edwards等人[329-331]的格点结果明显高于核子和 $\Delta$ 共振态的实验质量。这主要是因为所显示的结果对应的 $\pi$ 介子质量为 $396MeV$ 。有一些低质量 $\pi$ 介子的模拟。但到目前为止它们主要关注 $J\le\tfrac{3}{2}$ 的态。在超子中，随着重子中奇异夸克数目的增加，对基态重子质量的预测稳定提高。在本文中，虽然探究过结果对 $\pi$ 介子质量的依赖，但没有研究过对 $\pi$ 介子质量的推测。目前，手征预测的激发态还不十分可靠。在该模拟中，态的顺序与传统夸克模型一致，因为 $\tfrac{1}{2}^{+}$ 的核子激发态比 $\tfrac{1}{2}^{-}$ 的态质量更大。更一般地，在所有的味簇中，低能级正宇称激发态的质量都比低能级负宇称激发态大。但我们注意到至少有一种格点研究中，低能级正宇称激发态的质量比低能级负宇称激发态小[360]。这种格点模拟的第二个特点是，低能级激发态的数量与传统的夸克模型一致，而不是双夸克模型。当然，随着 $\pi$ 介子质量向物理值方向减小，这些结果可能会发生显著变化。此外，目前的计算与[360]一样，只包括单粒子态。当包含多个粒子的态时，哪些态是真实的结论可能会改变。

7.2.1. 多重态分配

7.2.2. $N(1700)\tfrac{3}{2}^{-}$ 真的存在吗？

7.2.3 是否发现第二个 $N(1720)\tfrac{3}{2}^{-}$ ?

7.3. 奇异重子与 $N(1685)$ 的解释

7.4. 未来的实验

重子谱学仍然是一个活跃的领域。我们期待从LHC实验得到更多重味重子的结果，新的惊喜只是一个时间问题。在轻味夸克领域，在ELSA和MAMI实验上从电生实验上提取极化观测值的工作将会继续。在写本文的时候，由于CEBASF加速器从6GeV到12GeV的能量升级，杰弗逊实验室新的数据记录已经暂停。GlueX和CLAS12实验的强子谱研究将会继续，数据采集可能会在2014/15年恢复。未来激发态重子的研究将会聚焦于于双奇异夸克和三奇异夸克重子 $\Xi_{s}$ 和 $\Omega_{s}$ 。如前所述，这些含有多个奇异数的态的性质还很少知道，只有 $\Xi(1820)\tfrac{3}{2}^{-}$ 的 $J^{P}$ 在实验上被直接确定。未来的实验将会提高统计量，提高探测器接收度，因为这被认为是之前实验上的主要限制。
$\Xi$ 超子具有双奇异数的独特性质：其夸克组成为 $ssu$ 和 $ssd$ 。如果禁闭势与夸克的味道无关，那么在许多理论方法中，给定的一对夸克的空间激发能量会随着其减少的质量的增加而减小。这意味着每一个分波中最轻的激发发生在两个奇异夸克之间。在参观衰变模型中，因为两个奇异夸克在激发态和基态的空间波函数的正交性，这类态不会衰变到基态 $\Xi$ 和一个 $\pi$ 介子。这去除了每个分波中最轻的态的最大相空间的衰变道，大幅减小了它们的宽度。典型地，已知的质量较低的共振态，其 $\Gamma_{\Xi^{*}}$ 大约为10-20MeV，相比 $N^{*}$ 、 $\Delta^{*}$ 、 $\Lambda^{*}$ 和 $\Sigma^{*}$ 窄了5-10倍。这些特点，再结合它们的同位旋 $\tfrac{1}{2}$ ，为在反应 $\gamma p\to KY^{*}\to K(\bar{K}Y)_{\Xi^{*}}K$ 中研究 $\Xi$ 即其激发态提供了可能，且弥补了 $N^{*}$ 的研究中较大宽度和重叠的挑战。该反应也为 $\Sigma$ 和 $\Lambda$ 的研究提供了可能[372]。在GSI，PANDA合作组已经计划在 $p\bar{p}\to\bar{Y}Y^{*}$ 等质子-反质子湮灭反应中研究多奇异数超子。与光生反应相比， $p\bar{p}$ 反应不需要产生 $K$ 介子，且 $\Xi$ 和 $\Omega$ 的预测截面很大。
我们知道二次散射效应在光生反应中扮演着重要角色。这意味着中间态中的重子和介子不一定与末态中的相同。由于不同的衰变道相互影响，理想的实验数据分析需要在耦合道分析框架下进行。同理，利用强子的数据与光生的数据联合寻找核子共振态是必要的。耦合道分析在理论上十分具有挑战，这驱使杰弗逊实验室组建了激发态重子分析中心(EBAC)。然而由于 $\pi N$ 和 $KN$ 反应的实验数据很少，实验方面仍然面临着挑战。正如章节5.1中所讨论的那样， $\pi N\to\pi N$ 由相当多的数据可用，而反应 $\pi N\to\pi\pi N$ 和 $\pi N\to KY$ 的统计量却很少，且来自几十年前。位于日本东海的日本质子加速器研究中心（J-PARC）正在讨论用强子探针研究这些反应的可能性。