笔记说明

在datacamp网站上学习“Time Series with R ”track
“Introduction to Time Series Analysis”课程做的对应笔记。
学识有限，错误难免，还请不吝赐教。
如无特殊说明，笔记中所使用数据均来自datacamp课程

简单移动平均模型部分的笔记拟分为（一）（二）两个部分发布，第一部分主要包括简单移动平均过程简介、不同参数情况下简单移动平均过程的特点和数据模拟；第二部分主要是简单移动平均模型的拟合和预测。（这样我每日一更打卡的压力可以小一些。。。）

简单移动平均模型是一种用于解释非常短期自相关的简约的（parsimonious）时间序列模型。模型的简约是指变量数最少的最简单的合理的模型（simplest plausible model with the fewest possible number of variables）。
简单移动平均模型具有回归的形式，但是每个观测是向前一项的误差项（innovation，我查到的翻译是“新息”，我理解为误差项，不知道是否合适）回归而误差项实际是观测不到的。
白噪声模型也是简单移动平均模型的特殊情况。

简单移动平均过程

设 $ε_1,ε_2,...$ 为白噪声 $WN(0,σ_ε^2)$ ，则满足下式的 $Y_1,Y_2,...$ 为移动平均过程（MA process）， $μ和θ$ 为常数：
$Y_t=μ+ε_t+θε_{t-1}$
（我们这里只关注1阶的情景，最简单的移动平均过程）

μ是 ${Y_t}$ 过程的均值
若 $θ=0$ ，则 $Y_t=μ+ε_t，Y_t为白噪声WN(μ,σ_ε^2)$
若 $θ≠0$ ，则 $Y_t依赖于ε_{t-1}和ε_t，且Y_t$ 过程是自相关的。 $ε_{t-1}的信息会代入到Y_t$
$\theta$ 决定了 $ε_{t-1}对Y_t$ 的影响强度， $|θ|$ 越大，影响越大
若 $θ<0$ ，则时间序列呈现出震荡（oscillatory）的特点
$Corr(Y_t,Y_{t-1})=ρ(1)=\frac {θ}{1+θ^2}$
$Corr(Y_t,Y_{t-h})=ρ(h)=0, h>1$
即 $θ≠0$ 时， $Y_t$ 只和 $Y_{t-1}$ 有相关性，而与 $Y_{t-h}（h>1）$ 无相关性。

模拟简单移动平均过程数据

和之前介绍的模型一样，简单移动平均过程也可以用arima.sim()函数进行数据模拟，model参数设为list(ma = theta)，这里theta是斜率参数（公式里的θ），取值范围(-1,1)，另外还需指定模拟数据的长度n。
下面模拟不同 $\theta$ 下简单移动平均过程的情况：

# Generate MA model with slope 0.4
x <- arima.sim(model = list(ma = 0.4), n = 200)

# Generate MA model with slope 0.9
y <- arima.sim(model = list(ma = 0.9), n = 200)

# Generate MA model with slope -0.75
z <- arima.sim(model = list(ma = -0.75), n = 200)

# Plot all three models together
plot.ts(cbind(x, y, z))

# Calculate ACF for x
acf(x)

# Calculate ACF for y
acf(y)

# Calculate ACF for z
acf(z)