线性方程组

作者: xiaoluo | 来源:发表于2022-06-23 11:59 被阅读0次

线性方程组是线性代数的核心。包含变量x₀，x₁，x₂...的线性方程式形如 :
a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b

线性方程是由一个或几个包含相同变量x₀，x₁，x₂ ... x_n 的线性方程组成。

矩阵记号

x₁ + 2x₂ + x₃ = 0
2x₂ + 8x₃ = 8
5x₁ + 5x₃ = 10

对应的系数矩阵表示形式是

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 8 \\ 5 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

对应的增广矩阵为

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 8 & 8 \\ 5 & 0 & 5 & 10 \end{bmatrix}$

解线性方程的常用方式是高中学习过的消元法。

向量方程

向量表示一组有序数仅包含一列的矩阵称为列向量，简称向量
u = $\bigl( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \bigr)$ v = $\bigl( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \bigr)$

u和v是不相等的，因为向量是有序的实数对

几何表示

平面上的每个点由实数的序对确定，所以可以把几何点(a,b)和列向量 $\bigl( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \bigr)$ 等同。

线性组合

给定R²中的向量v₀，v₁，v₂和标量c₀，c₁，c₂
y = c₀v₀ + c₁v₁ + c_pv_p
称为向量v₀，v₁，v₂以c₀，c₁，c₂为权的线性组合。

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合 $\left\{\begin{matrix}v~0，v~1，v~2 \end{matrix}\right\}$ 的线性组合的所有向量。

定义若v₀，v₁，v₂是R中的向量，则v₀，v₁，v₂的所有线性组合所成的集合用记号Span $\left\{\begin{matrix}v~0，v~1，v~2 \end{matrix}\right\}$ 表示，称v₀，v₁，v₂所生成的R的子集，也就是说Span $\left\{\begin{matrix}v~0，v~1，v~2 \end{matrix}\right\}$ 是所有形如c₀v₀ + c₁v₁ + c_pv_p 的向量的集合，其中c₀，c₁，c₂是标量

要判断向量b是否属于Span $\left\{\begin{matrix}v~0，v~1，v~2 \end{matrix}\right\}$ 就是判断向量方程
c₀v₀ + c₁v₁ + c_pv_p = b

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