高等代数理论基础25：线性方程组解的结构

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-06 06:52 被阅读34次

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线性方程组解的结构

齐次线性方程组

给定齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=0\end{cases}$

它的解所成的集合具有以下性质：

1.两个解的和还是方程组的解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)与(l_1,l_2,\cdots,l_n)是方程组的两个解$

$把它们代入方程组,每个方程成恒等式,即$

$\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=0,\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=0(i=1,2,\cdots,s)$

$把两个解的和(k_1+l_1,k_2+l_2+\cdots+k_n+l_n)代入方程组可得$

$\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(k_j+l_j)=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j+\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=0$

$说明两个解的和确实是方程组的解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.一个解的倍数还是方程组的解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)是方程组的一个解$

$显然(ck_1,ck_2,\cdots,ck_n)也是方程组的解$

$\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(ck_j)=c\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=0(i=1,2,\cdots,s)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：解的线性组合还是方程组的解

基础解系

定义：齐次线性方程组的任一解都能表成 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 的线性组合,且 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 线性无关,则称 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 为方程组的一个基础解系

定理：在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,且基础解系所含解的个数等于n-r,r表示系数矩阵的秩

证明：

$设方程系数矩阵的秩为r$

$不妨设左上角的r级子式不为零$

$方程组可改写成$

$\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1r}x_r=-a_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2r}x_r=-a_{2,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{2n}x_n\\ \cdots\\ a_{r1}x_1+\cdots+a_{rr}x_r=-a_{r,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{rn}x_n\end{cases}$

$若r=n,则方程组没有自由未知量,方程组右端全为零$

$方程组只有零解$

$不存在基础解系$

$r\lt n$

$把自由未知量的任意一组值(c_{r+1},\cdots,c_n)代入方程组$

$可唯一确定方程组的一个解$

$即方程组的任意两个解$

$只要自由未知量的值一样,这两个解就完全一样$

$若在一个解中自由未知量的值全为零,则该解一定是零解$

$用n-r组数代自由未知量(x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_n)$

$(1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)$

$可得方程组的n-r个解$

$\begin{cases}\eta_1=(c_{11},\cdots,c_{1r},1,0,\cdots,0)\\ \eta_2=(c_{21},\cdots,c_{2r},1,0,\cdots,0)\\ \cdots\\ \eta_{n-r}=(c_{n-r,1},\cdots,c_{n-r,r},0,0,\cdots,1)\end{cases}$

$下证它为一个基础解系$

$显然,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}线性无关$

$若k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}=0$

$k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}=(*,\cdots,*,k_1,k_2,\cdots,k_{n-r})$

$\therefore k_1=k_2=\cdots=k_{n-r}=0$

$\therefore \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}线性无关$

$下证方程组的任一解都可由\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}线性表出$

$设方程组的一个解\eta=(c_1,\cdots,c_r,c_{r+1},c_{r+2},\cdots,c_n)$

$\because \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}是方程组的解$

$\therefore c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\cdots+c_{n}\eta_{n-r}也是一个解$

$显然两者自由未知量有相同的值$

$\therefore 两个解完全一样$

$即\eta=c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\cdots+c_{n}\eta_{n-r}$

$即任意一个解\eta都能表成\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}的线性组合$

$综上所述,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}为方程组的一个基础解系$

$\therefore 齐次线性方程组有基础解系$

$由定义知任两个基础解系等价$

$同时它们又线性无关$

$\therefore 有相同个数的向量\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系

一般线性方程组

给定一般线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s\end{cases}$

将常数项换成0即得齐次方程组,称为方程组的导出组,方程组的解与它的导出组的解之间关系如下：

1.线性方程组的两个解的差是它的导出组的解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)与(l_1,l_2,\cdots,l_n)是方程组的两个解$

$即\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=b_i,\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=b_i(i=1,2,\cdots,s)$

$它们的差为(k_1-l_1,k_2-l_2,\cdots,k_n-l_n)$

$显然\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(k_j-l_j)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}k_j-\sum\limits_{j=1}^na_{ij}l_j=b_i-b_i=0$

$(i=1,2,\cdots,s)$

$即(k_1-l_1,k_2-l_2,\cdots,k_n-l_n)是导出组的一个解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解

证明：

$设(k_1,k_2,\cdots,k_n)是方程组的一个解$

$即\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}k_j=b_i(i=1,2,\cdots,s)$

$设(l_1,l_2,\cdots,l_n)是导出组的一个解$

$即\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}l_j=0(i=1,2,\cdots,s)$

$显然\sum\limits_{j=1}^na_{ij}(k_j+l_j)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}k_j+\sum\limits_{j=1}^na_{ij}l_j=b_i+0=b_i$

$(i=1,2,\cdots,s)\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理：若 $\gamma_0$ 是方程组的一个特解,则方程组的任一解 $\gamma$ 都可表成 $\gamma=\gamma_0+\eta$ ,其中 $\eta$ 是导出组的一个解

对方程组的任一特解 $\gamma_0$ ,当 $\eta$ 取遍它的导出组的全部解时,即得方程组的全部解

证明：

$显然\gamma=\gamma_0+(\gamma-\gamma_0)$

$\gamma-\gamma_0为导出组的一个解$

$令\gamma-\gamma_0=\eta$

$即得结论$

$方程组的任一解都可表成\gamma=\gamma_0+\eta$

$在\eta取遍导出组的全部解时$

$\gamma=\gamma_0+\eta也取遍方程组的全部解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：可用导出组的基础解系来表出一般方程的一般解：若 $\gamma_0$ 是方程组的一个特解, $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}$ 是导出组的一个基础解系,则方程组的任一个解 $\gamma$ 都可表成 $\gamma=\gamma_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}$

推论：在方程组有解的条件下,解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解

证明：

$充分性$

$若方程组有两个不同的解$

$则它的差为导出组的一个非零解$

$\therefore 若导出组只有零解$

$则方程组有唯一解$

$必要性$

$若导出组有非零解$

$则该解与方程组的一个解的和即为方程组的另一个解$

$即方程组不止一个解$

$\therefore 方程组有唯一的解$

$则它的导出组只有零解\qquad \mathcal{Q.E.D}$

线性方程组的几何意义

给定线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\end{cases}$

方程组中每一个方程表示一个平面,线性方程组有没有解即两个平面有没有交点,方程组系数矩阵与增广矩阵分别为

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}$ , $\bar{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\end{pmatrix}$

它们的秩有三种情形：

1.r(A)=1,r( $\bar{A}$ )=1：即A的两行成比例,两个平面平行,又 $\bar{A}$ 的两行也成比例,所以两个平面重合,方程组有解

2.r(A)=1,r( $\bar{A}$ )=2：即两个平面平行而不重合

3.r(A)=2,r( $\bar{A}$ )=2：即两个平面不平行,一定相交,方程组有解

解的几何意义

设矩阵A的秩为2,此时一般解中有一个自由未知量,不妨设为 $x_3$ ,一般解的形式为 $\begin{cases}x_1=d_1+c_1x_3\\x_2=d_2+c_2x_3\end{cases}$

从几何上看,两个不平行的平面相交成一条直线,将一般解改写一下就是直线的点向式方程 ${x_1-d_1\over c_1}={x_2-c_2\over c_2}=x_3$ ,引入参数t,令 $x_3=t$ 可得 $\begin{cases}x_1=d_1+c_1t\\x_2=d_2+c_2t\\x_3=t\end{cases}$ ,为直线的参数方程

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