高等代数理论基础24：线性方程组有解判别定理

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-05 06:54 被阅读22次

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线性方程组有解判别定理

给定线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s\end{cases}$

引入向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{s1}\end{pmatrix}$ , $\alpha_2=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{s2}\end{pmatrix}$ , $\cdots$ , $\alpha_n=\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{sn}\end{pmatrix}$ , $\beta=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_s\end{pmatrix}$

线性方程组可改写成向量方程 $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta$

线性方程组有解的充要条件为向量 $\beta$ 可表成向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 的线性组合

线性方程组有解判别定理

定理：线性方程组有解的充要条件为它的系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{pmatrix}$

与增广矩阵 $\bar{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}&b_s\end{pmatrix}$

有相同的秩

证明：

$必要性$

$线性方程组有解$

$即\beta可经向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性表出$

$\therefore \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n与\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta等价$

$\therefore 两向量组有相同的秩$

$这两个向量组分别为矩阵A与\bar{A}的列向量组$

$\therefore A与\bar{A}有相同的秩$

$充分性$

$A与\bar{A}有相同的秩$

$即它们的列向量组$

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n与\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta有相同的秩$

$令它们的秩为r$

$则\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n的极大线性无关组由r个向量组成$

$不妨设\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r是它的一个极大线性无关组$

$显然\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r也是\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta的一个极大线性无关组$

$\therefore \beta可经\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性表出$

$\therefore \beta可经\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性表出$

$\therefore 方程组有解\qquad \mathcal{Q.E.D}$

与消元法

另：判别条件与消元法一致

$用消元法解线性方程组$

$用初等行变换把增广矩阵\bar{A}化成阶梯形$

$适当调整前n列顺序后有两种情形$

$\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1r}&\cdots&c_{1n}&d_1\\ 0&c_{22}&\cdots&c_{2r}&\cdots&c_{2n}&d_2\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&c_{rr}&\cdots&c_{rn}&d_r\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0&d_{r+1}\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}$

$或\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1r}&\cdots&c_{1n}&d_1\\ 0&c_{22}&\cdots&c_{2r}&\cdots&c_{2n}&d_2\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&c_{rr}&\cdots&c_{rn}&d_r\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0&0\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}$

$其中c_{ii}\neq 0,i=1,2,\cdots,r,d_{r+1}\neq 0$

$前一种情形,原方程组无解$

$后一种情形,原方程组有解$

$将阶梯形矩阵的最后一列去掉$

$可得系数矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯形$

$即系数矩阵与增广矩阵的秩相等时方程组有解$

$当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时,方程组无解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

与Cramer法则

给定线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=b_s\end{cases}$ 有解

A与 $\bar{A}$ 的秩都等于r,D是A的一个不为零的r级子式

不妨设D位于A的左上角

显然 $\bar{A}$ 的前r行为一个极大线性无关组

第 $r+1,\cdots,s$ 行都可经它线性表出

方程组与 $\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1r}x_r+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2r}x_r+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{r1}x_1+\cdots+a_{rr}x_r+\cdots+a_{rn}x_n=b_r\end{cases}$ 同解

$r=n$ 时,由Cramer法则,方程组有唯一解

$r\lt n$ 时,改写方程组为 $\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1r}x_r=b_1-a_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2r}x_r=b_2-a_{2,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{2n}x_n\\ \cdots\\ a_{r1}x_1+\cdots+a_{rr}x_r=b_r-a_{r,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{rn}x_n\end{cases}$

为 $x_1,\cdots,x_r$ 的一个方程组,系数行列式 $D\neq 0$ ,由Cramer法则,对于 $x_{r+1},\cdots,x_n$ 的任意一组值,方程组有唯一解

$x_{r+1},\cdots,x_n$ 就是方程组的一组自由未知量,用Cramer法则可解出 $x_1,\cdots,x_r$

$\begin{cases}x_1=d'_1+c'_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+c'_{1n}x_n\\ \cdots\\ x_r=d'_r+c'_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+c'_{rn}x_n\end{cases}$

即为方程组的一般解

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