圆周率是怎么计算出来的？

作者: 未来已来_1cab | 来源:发表于2018-11-25 08:38 被阅读0次

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一、只要一个圆的半径是确定的，那么它的周长就是确定的。

图1 圆弧长度仅有一个常数和圆的半径决定

因为AB/AB'=BC/B'C'，AB和AB'刚好是这个圆的半径R，所以，圆弧的长度与圆的半径成正比。假设正比的比例因子为 $\frac{\pi }{2}$ ，可以设：

$\frac{圆周长度}{2}=\pi$

二、圆弧的长度可以用边长无限小的多边形来逼近。

第一次逼近用 $\frac{\pi }{4}$ 位置的圆弧的切线来逼近。

图2 第一次逼近

很明显可以算出切线的长度为 $2 \sqrt{2}$ ，那么圆周长度的第一次逼近为 $4\times 2 \sqrt{2}$ 。

因为 $\frac{圆周长度}{2}=\pi$ ，那么此时有 $\pi =4 \sqrt{2}\approx 5.65685424$ ，误差比较大。

第二次逼近，图3所绘的三角形为等腰直角三角形，其一条直角边为 $\sqrt{2}$ ，红线所在的三角形同样是等腰直角三角形，可以很轻松的知道红线所在三角形的直角边的边长为 $\sqrt{2} -1$ ，同时也是红线的长度。

图3 第二次逼近

此时圆周长度相当于16条红线的长度 $16\times (\sqrt{2} -1)$ ，又因为公式 $\frac{圆周长度}{2}=\pi$ ，所以 $\pi =8\times (\sqrt{2}-1)\approx 3.3137084$ ，可以看出误差小了很多。

第三次逼近，用 $\frac{\pi}{8}$ 位置圆弧的切线来逼近，三条红线构成一个直角三角形。

图4 第三次逼近

1. $AC^2 +AB^2 =BC^2$

2. $BC+AC=\sqrt{2}-1$ （因为 $AC=CZ$ ， $BZ=\sqrt{2} -1$ ）

3. $OB^2 =1+BZ^2 =1+(\sqrt{2 } -1)^2$ （因为OBZ为直角三角形）

由公式3知道

4. $AB=\sqrt{4-2\sqrt{2}}-1$ 。

由公式1知道 $(\sqrt{4-2\sqrt{2 } } -1)^2=AB^2 = BC^2-AC^2=(BC+AC )(BC-AC)$ ，再将公式2带入本公式得到：

$BC=(\frac{(\sqrt{4-2\sqrt{2} } -1)^2 }{\sqrt{2} -1}+\sqrt{2}-1 )\div 2=0.2153011$

$AC=\sqrt{2} -1-BC=0.1989123$

那么此时圆周长度相当于32条AC的长度，又因为 $\frac{圆周长度}{2}=\pi$ ，所以 $\pi =16\times AC=3.1825978$ ，又逼近了一点。

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