计算机图形学坐标变换

先附上原文链接：
https://www.zybuluo.com/yuyujunjun/note/879480
由于简书对数学公式的兼容性不那么好，还是请移步到原文去看。

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比例变换

沿坐标轴变换： 乘对应对角矩阵即可

沿任意坐标变换：

• 首先将其变换到标准坐标系中：

    乘该坐标系的逆矩阵，如果是该坐标系正交，则其逆矩阵为其转置矩阵，如何求逆矩阵，详见我另一篇博客。
  

• 乘以对角矩阵施加变换

• 再乘以该坐标系变换回来

旋转变换

对于二维向量：

< x,y >变成 <-y,x> 即可求出其旋转90度的向量，和原始向量构成一组基可求的与原始向量成任意角度的新向量。

对于三维向量：

矩阵方法：(假设向量皆为单位向量）

将原始向量P绕任意轴A旋转任意角度：

1. 首先沿着该轴将向量分解为沿轴的分量Y和垂直轴的分量C，因为平行于轴的分量在旋转过程中不变，我们只用考虑垂直轴的分量C:
   $$Y:（A \cdot P）A $$
   $$ C: P - Y $$
2. 计算得到垂直A且包含C的平面，则可以在该平面内做二维旋转变换
3. 将旋转后的向量加上Y即得到最后结果
   $$P'=Pcos\theta + (A \times P)sin \theta + A(A \cdot P)(1 - cos \theta) $$

四元数方法：

四元数介绍：

$q=<w,x,y,z>=w + xi+yj+zk$ 或者 $q=s+\textbf{v}$
$\bar{q}=s-\textbf{v}$
$q_1q_2=s_1s_2-\textbf{$v_1$}\textbf{$v_2$}+s_1\textbf{$v_2$}+s_2\textbf{$v_1$}+\textbf{$v_1$}\textbf{$v_2$}$

旋转相当于将原始的一个角经过一个函数变换，使之长度、角度、手相性不变。
长度不变：$$length(F(P))=length(P)$$
角度不变：$$F(P_1) \cdot F(P_2) = P_1 \cdot P_2$$
手相性不变：$$F(P_1) \times F(P_2) = F (P_1 \times P_2)$$
对于这样的F，我们有$F(P)=qPq^{-1}$，其中q为非零的四元数
$\textbf{note:}$ 任意标量a，乘以q，得到的 aq 和 q 执行的是相同的旋转操作。
最后结论：绕A轴进行旋转，相当于$$q=cos\frac{\theta}{2}+Asin\frac{\theta}{2}$$的上述函数运算。

平移操作

将点P从一个坐标系变换到另一个坐标系的表达式为：$$ P'=MP+T $$

具体操作：

$$F=
\left{
\begin{matrix}
&M&T\
&0&1
\end{matrix}
\right}
$$
将$P$扩充为$<P_x,P_y,P_z,1>$

实际应用中：

平移变换中，表示点的向量将会发生变化，但是表示方向的向量不变。
所以在进行变化过程中，表示点的向量的$w$分量设为1，但是表示方向向量的$w$分量设置为0，则可以统一变化。

$\textbf{note:$w$的几何意义——投影}$

• $\bar{P}=<\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w}>$表示P向量与$w=1$平面的交点。
• 给四维向量P乘以任何比例系数，都对应三维空间的相同点。

除了点之外的变换

前面已经提到对于方向向量的平移该如何变换，旋转和缩放方向向量和普通点的变换类似。
这里讲点的切向量和法向量的变换。

切向量

切向量可以通过两个顶点向量之间的差获得，因此可以用变换后的两个定点作差得到，在变换过程中，可以用相同矩阵进行变化。（如果是4维，应向方向向量一样扩充得到）

法向量

变换后的法向量常常指向一个与变换表面不垂直的方向。
但是切向量和法向量内积的值是一定等于0的。已知初始切向量法向量，变换后的切向量，我们可以得到变换后的法向量。
$N\cdot T=N'\cdot T'=(GN)\cdot (MT) =0$
其中M是一般点的变换矩阵，G是我们需要求的法向量的变换矩阵。
$N\cdot T=N^TT$
$(GN)\cdot (MT)=(GN)^T(MT)=NTG^TMT=0$
所以只需要$G^{TM=I$即可，所以$G=(M}{-1})^T$,如果M是正交矩阵，则$G=M$。