最小二乘法—多项式拟合非线性函数

本章涉及到的知识点清单：

1、函数的近似表示—高次多项式

2、误差函数—最小二乘法

3、引出案例函数曲线

4、目标函数

5、优化目标函数

6、优化目标函数—梯度下降法

7、优化目标函数—求解线性方程组

8、python编程实现拟合曲线函数

9、结果分析

一、函数的近似表示—高次多项式

为了研究一些复杂的函数，我们希望对函数自变量进行有限的加、减、乘法三种算数运算，便可以求出原函数值，因此我们通常使用高次多项式来近似表示函数

高次多项式近似表示f(x)

可以看到，我们可以用n阶多项式的系数线性组合来近似表示f(x)

特别说明，由泰勒展开式可知，当pn(x)的各阶导数和f(x)的各阶导数都相等，则f(x)和pn(x)的误差只是(x-x0)^n的高阶无穷小

即

泰勒公式

二、误差函数—最小二乘法

我们用f(x)的真实函数值减去多项式函数的结果的平方，来表示f(x)和多项式函数的误差关系，即

最小二乘法表示误差

我们令x0=0，则最小二乘法表示的误差为

最小二乘法表示误差

三、引出案例函数曲线

有了上述数学知识，下面我们用一个案例来介绍最小二乘法拟合非线性函数的算法步骤

案例：求一个多项式来拟合下列函数的函数值

案例函数

其中我们加入了噪点数据noise，使得函数在定义域内随机的震荡

我们画出f(x)在[-1, 1]之间的图像，即

案例函数图像

案例问题即为：已知上述N个数据点，求其函数f(x)的表达式？

显然，f(x)也就是机器学习要学习的目标

四、目标函数

下面我们开始推导机器学习的过程

机器学习的目标为：

（1） 学习一个f(x)多项式，可以拟合真实数据的变化趋势

（2）f(x)的目标：使每一个真实数值到f(x)的拟合数值的距离之和最小

翻译为数学语言，即

学习到的f(x) 目标函数

五、优化目标函数

为了使目标函数最优，我们对每个系数求其偏导数为0，即

优化目标函数

至此，我们需要根据上述k的等式，求出所有的系数ak，有两种方法可以求解

（1）梯度下降法

（2）求解线性方程

六、优化目标函数—梯度下降法

采用梯度下降法，可以避免我们用数学方法直接一步来求解上述k个方程的最优解，而是采用迭代逼近最优解的思路，其具体步骤为：

（1）初始化k个系数值，开始迭代

（2）每次迭代，分别求出各个系数ak对应的梯度值

（3）用梯度值和学习率来更新每一个系数ak

（4）保证每次更新完所有系数，对应的损失函数值都在减少（说明梯度一直在下降）

翻译为数学语言为：

计算ak对应的梯度值

计算ak的梯度值

更新ak

更新ak

七、优化目标函数—求解线性方程组

求解线性方程组让我们直接一步求出偏导数最优解，其具体步骤为：

（1）将最优化偏导数的方程组写为矩阵乘法形式：XA=Y

（2）利用数学消元算法来求解XA=Y

我们对k个偏导数=0的等式进行化简处理，即

k个偏导数等式

下面我们将其写为矩阵相乘的形式，将所有只含有x的系数写为第一个矩阵X，即

含有x的系数矩阵

将只含有待求解的多项式系数ak写为第二个矩阵A，即

含有a的系数矩阵

最后将含有y的系数写为第三个矩阵Y，即

含有y的系数矩阵

此时，我们就可以用矩阵的乘法来表示最初的k个偏导数为0的等式，即

k个偏导数等式的矩阵形式

注意：其中X是k*k的矩阵，A是k*1的矩阵，Y是k*1的矩阵，符合矩阵的乘法规则

从矩阵表达式可以看出，X和Y矩阵是已知的，A矩阵只包含待求解的f(x)的所有多项式系数，则问题即转化为线性方程组：XA=Y

求解线性方程组，大概有如下算法

（1）高斯消元法（全主元、列主消元）

（2）LU三角分解法

（3）雅克比迭代法

（4）逐次超松弛(SOR)迭代法

（5）高斯-赛德尔迭代法

这里我们采用高斯消元法来求解A，具体算法步骤较为复杂，我们在单独的章节介绍高斯消元算法

八、python编程实现拟合曲线函数

生成带有噪点的待拟合的数据集合

生成带有噪点的待拟合的数据集合

计算最小二乘法当前的误差

计算最小二乘法当前的误差

迭代解法：最小二乘法+梯度下降法

迭代解法：最小二乘法+梯度下降法

数学解法：最小二乘法+求解线性方程组

数学解法：最小二乘法+求解线性方程组

九、结果分析

我们来拟合N=10次幂的多项式，分别用梯度下降法和求解线性方程组的算法来比较拟合结果

（1）使用梯度下降法来优化目标函数，其拟合结果为：

梯度下降法拟合结果

其误差变化为

梯度下降法优化的误差

（2）使用求解线性方程组来优化目标函数，其拟合结果为：

求解线性方程组拟合结果

其误差变化为

求解线性方程组优化的误差

比较上述两种解法，以及多项式拟合的思想，我们可以总结出

（1）利用函数的近似多项式表示，和最小二乘法来表示目标函数，我们可以高效的拟合非线性函数

（2）梯度下降法可以一步步迭代逼近目标函数的极值，而不用直接求出偏导数最优解

（3）求解方程组，使用数学消元的算法，直接一步优化完成了目标函数的偏导数最优解

（4）从结果上比较，求解方程组的效率和拟合结果要比梯度下降法好

案例代码见：最小二乘法—多项式拟合非线性函数