主成分分析（PCA）

• 主成分分析（PCA）是一种能够极大提升无监督特征学习速度的数据降维算法

1 降维

• 举一个把2维降低到1维的例子

  
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• 这些数据已经进行了预处理，使得每个特征x1和x2具有相同的均值（零）和方差。
• 为方便展示，根据值的大小，我们将每个点分别涂上了三种颜色之一，但该颜色并不用于算法而仅用于图解。

• PCA算法将寻找一个低维空间来投影我们的数据。从下图中可以看出，u1是数据变化的主方向，而u2是次方向。

  
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• 用以下公式算出协方差u1,u2

  
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• 假设x的均值为零，那么Sigma就是x的协方差矩阵。

• 算出u1 的协方差为7.29，u2 的协方差为0.69

  
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2 旋转数据

• 把 x 用（u1,u2）作为基旋转数据

  
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3 数据降维

• 先举一个四维的例子
• 特征矩阵是一个对角线矩阵从左上到右下数值依次递减,每个数值表示一个特征值(pca的特征矩阵的值都是正数)。
• 特征值越大表示这个维度包含的信息越多，你看有几个比较大的特征值，k大概就是选几个.简单的例子:你对数据做了一个PCA产生了一个特征矩阵(这个数据的维度是4)

• 特征两辆之间的协方差为0

  
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• 很显然特征值得变化就告诉你有两个特征值100 和 30 远远大于剩下的那个两个1 和0.1，你就可以设定k是2,因为100 和 30对应的维度已近基本上囊括的数据的绝大多数的信息

• 回到我们上面的例子，取（n=2,k=1）实现降维

  
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• 在面的二维实验中，我们保留了，7.29/(7.29+0.69)=91.3%的方差。
• 一般向他人介绍PCA算法详情，告诉他们你选择的k保留了95%的方差，比告诉他们你保留了前120个（或任意某个数字）主成分更好理解。

4 参考文献

1. https://www.zhihu.com/question/21980732(知乎)
2. http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90（主成分分析与白化）
3. https://wenku.baidu.com/view/1745b0be2cc58bd63186bdad.html（PCA的原理及详细步骤）