【数学中的逆向思维】

每个角度都有不同的色彩，给人不同的感受，收获不同的事物，处于困境之时，抱怨之时，别人总会提醒我们换个角度看世界，这时，我们的眼界总会被一瞬间打开，这就类似于我们数学解题过程中的应用到的反证法，逆向思维。

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，反证法是在学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。

反证法的步骤：

1、假设命题反面成立。

2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义，定理矛盾。

3、得出假设命题与原命题的条件矛盾或导出与假设相矛盾的命题，即所求证命题成立。

一般来讲，反证法常用来证明的题型有命题的结论以“至多”，“唯一”或“否定形式”，“无限”，“至少”等形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改善其思维方向，从结论进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

例1 证明若数列{}收敛，则{}的极限是唯一的。

证明：设同时有=A和=B，且A<B.取，由=A可知，，使当n>时，|-A|<，从而有

<A+=          (1)

同理由=B可知，，使当n>时，|-B|<，从而有

>B-=          (2)

取N=max{，}，则当n>N时，（1）式和（2）式同时成立，矛盾!

因此，收敛函数的极限是唯一的。

例2 设a为有理数，x为无理数，证明a+x是无理数。

（此题需证明的结论过于简单，使人一眼就看出命题的正确性，却又因为结论过于简单，反而使人不知道怎么证明，此时，我们就会采用反证法）

证明：假设a+x是有理数，则（a+x）-a=x是有理数，这与题意x为无理数相矛盾！

因此，a+x是无理数。

例3 已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。

求证：AC和BD是异面直线。

（不难看出这个题用直接证法证明比较困难，尤其是证明两条直线是异面直线，因此，我们常会想到利用反证法证明）

证明：假设AC和BD不是异面直线。

因为AC、BD不是异面直线，则AB和BD在同一平面内，即A、B、C、D四点在同一平面上，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线，这与已知条件产生矛盾！

因此，AC和BD是异面直线。

有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以轻而易举地把问题解决。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。然而反证法的作用不止于数学应用和解题研究，它在生活中，在别的领域中也有十分广泛的应用，例如“抽屉原理”，“鸽笼原理”，某些物理化学研究等等，这就需要我们进一步去研究考察了