证明罗德里格斯公式和四元数旋转等效

作者: 斯派罗 | 来源:发表于2021-01-14 13:52 被阅读0次

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证明旋转矩阵是正交矩阵。

答：首选明白旋转矩阵如何定义。旋转矩阵是描述同一个点在不同基坐标系下的坐标变换，两个坐标系统的基分别是[e1,e2,e3], [e1',e2',e3']。空间中一点P在两个基下的坐标分别是[x; y; z]、[x'; y'; z']；

那么坐标的变换关系是：[e1, e2, e3]*[x; y; z] = [e1',e2',e3'] * [x'; y'; z']; 所以[x; y; z] = [e1, e2, e3]T * [e1',e2',e3'] * [x'; y'; z']；由此旋转矩阵为R = [e1, e2, e3]T * [e1',e2',e3']；

正交矩阵是指AT*A = E。只要旋转矩阵满足RT*R=E就可以证明。RT*R= [e1',e2',e3']T * [e1, e2, e3] * [e1, e2, e3]T * [e1',e2',e3'] = E 根据矩阵的结合率，很明显上式成立，所以旋转矩阵是一个正交矩阵。

证明罗德里格斯公式。

答：罗德里格斯公式描述了：旋转矩阵和旋转向里之间的关系。变换的结果是：

R = $\cos \theta$ I + (1 - $\cos \theta$ ) n nT + $\sin \theta$ n^.

这里旋转矩阵是R；旋转向量是 $\theta$ n，角度表示旋转角度，n表示旋转轴的当位向量。

这里的证明思路是，在图上画一个三维向量p, 确立一个旋转轴n, 和一个旋转角度 $\theta$ ，经过旋转之后三维向量p变为旋转向量prot, 这时两个向量之间的关系可以写成prot = R p。所以只要找到prot和p之间的关系就可以了。找关系的思路是，把prot在垂直和水平方向上进行分解，水平方向上再进行分解成(p-(p.n)n) cos $\theta$ +p $\times$ n. sin $\theta$ . 垂直方向上分解成：（p.n）n。于是可以写出prot = (p.n)n + (p-(p.n)n) cos $\theta$ +p $\times$ n sin $\theta$ 。根据点乘的交换率可以(p.n)n= n(p.n)= n(nT.p)= n.nT.p.

所以prot = [(1-cos $\theta$ ) n.nT+cos $\theta$ + sin $\theta$ . n^ ] p.

于是，可以证明R = cos $\theta$ I + (1-cos $\theta$ )n.nT + sin $\theta$ .n^。（其中n^表示叉乘的反对称矩阵）

验证四元数旋转某个点之后，结果是一个虚四元数（实部为零），所以仍然对应到一个三维空间点。即证明下面的式子：p' = qp.invert(q)。其中p是一个三维空间点用实部为零的四元数来表示p = [0, x, y, z]。用q表示旋转：q = [cos( $\theta$ /2), $n.\sin (\theta /2)$ ]。