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1、特征值分解（EVD）
实对称矩阵
在理角奇异值分解之前，需要先回顾一下特征值分解，如果矩阵A是一个m×m的实对称矩阵（即A=A^T），那么它可以被分解成如下的形式
其中Q为标准正交阵，即有QQ^T=E，Σ为对角矩阵，且上面的矩阵的维度均为m×m。λi称为特征值，qi是Q（特征矩阵）中的列向量，称为特征向量。
一般矩阵
上面的特征值分解，对矩阵有着较高的要求，它需要被分解的矩阵A为实对称矩阵，但是现实中，我们所遇到的问题一般不是实对称矩阵。那么当我们碰到一般性的矩阵，即有一个m×n的矩阵A，它是否能被分解成上面的式（1-1）的形式呢？当然是可以的，这就是我们下面要讨论的内容。
2、奇异值分解（SVD）
2.1 奇异值分解定义
有一个m×n的实数矩阵A，我们想要把它分解成如下的形式
其中U和V均为单位正交阵，即有UU^T=E和VVT=E，U称为左奇异矩阵，V称为右奇异矩阵，Σ仅在主对角线上有值，我们称它为奇异值，其它元素均为0。上面矩阵的维度分别是U∈R^m×m, Σ∈R^m×n, V∈R^n×n。一般地Σ有如下形式
图1-1 奇异值分解
对于奇异值分解，我们可以利用上面的图形象表示，图中方块的颜色表示值的大小，颜色越浅，值越大。对于奇异值矩阵Σ，只有其主对角线有奇异值，其余均为0。
2.2 奇异值求解
正常求上面的U,V,ΣU,V,Σ不便于求，我们可以利用如下性质
注：需要指出的是，这里ΣΣ^T与Σ^TΣ在矩阵的角度上来讲，它们是不相等的，因为它们的维数不同ΣΣ^T∈Rm×m，而Σ^TΣ∈Rn×n，但是它们在主对角线的奇异值是相等的，即有
可以看到式（2-2）与式（1-1）的形式非常相同，进一步分析，我们可以发现AA^T和A^TA也是对称矩阵，那么可以利用式（1-1），做特征值分解。利用式（2-2）特征值分解，得到的特征矩阵即为U；利用式（2-3）特征值分解，得到的特征矩阵即为V；对ΣΣ^T或Σ^TΣ中的特征值开方，可以得到所有的奇异值。
3、奇异值分解应用
3.1 纯数学例子
假设我们现在有矩阵A，需要对其做奇异值分解，已知
分别对上面做特征值分解，得到如下结果
奇异值Σ=Diag(18.54,1.83,5.01)Σ=Diag(18.54,1.83,5.01)
总结
从上面的图片的压缩结果中可以看出来，奇异值可以被看作成一个矩阵的代表值，或者说，奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时，它代表的信息越多。因此，我们取前面若干个最大的奇异值，就可以基本上还原出数据本身。如下，可以作出奇异值数值变化和前部分奇异值和的曲线图，如下图所示
奇异值变化图
从上面的第1个图，可以看出，奇异值下降是非常快的，因此可以只取前面几个奇异值，便可基本表达出原矩阵的信息。从第2个图，可以看出，当取到前100个奇异值时，这100个奇异值的和已经占总和的95%左右。
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