线性代数(3) 行列式以及行列式展开

作者: zidea | 来源:发表于2020-07-26 21:19 被阅读0次

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n 阶行列式

之前我们通过按一定规律进行画线来对 2 阶和 3 阶行列式进行展开。
2 阶行列式和 3 阶行列式展开，对于 4 阶行列式需要画 24 条线， $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{32} \cdots - a_{11}a_{23}a_{32}$

我们通过分析 3 阶的展开，然后将其推广到 n 阶的展开，这是我们对问题研究一个一般方法，就是现实简单例子，研究其规律然后将其推广。

行列式展开的定义根据是按行展开还是按列展开分为两个种定义分别是，按行展开和按列展开行列式。所谓按行还是按列就是，让列或行下标数的排列按自然排列，然后研究对应的行或列下标排列规律。

行列式按行展开

行标是取标准排列
列标为 123、231、312、321、213、132 所组成，列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出 3 个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定的。

排列	逆序数	正负	奇偶排列
123	0	正	偶
231	2	正	偶
312	2	正	偶
321	3	负	奇
213	1	负	奇
132	1	负	奇

通过上面我们进行总结从此退出 n 阶行列式的定义，从按行展开来定义行列
行标是取标准排列，而列标取排序的所有可能，从不同行不同列取出 3 个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定。

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \vdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = \sum_{j_1,j_2, \cdots j_n} (-1)^{N(j_1,j_2,\cdots,j_n)} a_{1j_2}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$

可以简写为
$D=|a_{ij}|$

只有一个数行列式就是其本身 $|a_{11}|=a_{11}$ 这里两个竖线不一定是绝对值。

对象行列式展开

例

$\left| \begin{array}{cccc} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right| = (-1)^{N(2341)} 2 \times 3 \times 4 \times 2$

下三角行列式

下三角行列式等于主对角线元素相乘
$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots& 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \vdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

上三角行列式

下三角行列式等于主对角线元素相乘
$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots& a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \vdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

对角行列式

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots& 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \vdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

行列式按列展开

行列式展开第二种定义

通过上面我们进行总结从此退出 n 阶行列式的定义，从按行展开来定义行列
列标是取标准排列，而行标取排序的所有可能，从不同行不同列取出 3 个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定。

既不按行也不按列行列式展开

$\sum (-1)^{N(i_1,\cdots,i_n) + N(j_1,\cdots ,j_n)} a_{i_1j_i} a_{i_2j_2} + \cdots + a_{i_n}a_{j_n}$

线性代数(3) 行列式以及行列式展开

n 阶行列式

行列式按行展开

对象行列式展开

例

下三角行列式

上三角行列式

对角行列式

行列式按列展开

既不按行也不按列行列式展开

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排列	逆序数	正负	奇偶排列
123	0	正	偶
231	2	正	偶
312	2	正	偶
321	3	负	奇
213	1	负	奇
132	1	负	奇

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123	0	正	偶
231	2	正	偶
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321	3	负	奇
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132	1	负	奇

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123	0	正	偶
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