行列式——基础知识

作者: madao756 | 来源:发表于2019-11-17 15:22 被阅读0次

矩阵——基础知识
行列式——基础知识
行列式
线性相关
线性代数笔记18
行列式定义
行列式
常见的补充成范德蒙行列式
2019-03-20
线性代数-行列式性质

前言：开始线性代数的复习

0X00 「二阶行列式」与「三阶行列式」

首先我们来看看两个最基础的「行列式」：

二阶行列式

$\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right| = ad - bc$

三阶行列式

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$

记忆这个公式是有技巧的：

「对角线」往上的三条斜线减去「副对角线」往上的三条斜线

通过看这个图理解这句话：

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|$

对角线是： $a_{11}a_{22}a_{33}$ 往上就是 $a_{12}a_{23}a_{31}$ 和 $a_{13}a_{21}a_{32}$

副对角线是： $a_{13}a_{22}a_{31}$ 往上就是 $a_{12}a_{21}a_{33}$ 和 $a_{11}a_{23}a_{32}$

0X01 「行列式」的定义

至此，我们引出 n 阶行列式的定义：

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|$

这个 n 阶行列式的定义如下：

首先做出表中不同行不同列的 n 个数的乘积：

$(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$

其中 t 是 $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 的逆序数，p 的含义是，在那一行的第几个

当我们把所有的情况列出并求和，就是 n 阶行列式

$\sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$

什么是「逆序数」

假设我们有这么一串数字：4, 3, 2, 1

它的逆序数字等于：3（有 3 个比 4 小的数字，却排在 4 的后面）+ 2（有 2 个比 3 小的数字，却排在 3 的后面）+ 1（有 1 个比 2 小的数字，却排在 2 的后面）= 6

再假设我们有这么一串数字：1 2 3 4

它的逆序数字等于：0（有 0 个比 1 小的数字）+ 0（有 0 个比 2 小的数字）+ 0（有 0 个比 3 小的数字）+ 0（有 0 个比 4 小的数字）= 0

比如对于三阶行列式：

$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|$

我们可以找到 $n! = 3! = 6$ 个不同行不同列的元素相乘，我随便列出一列： $a_{13}a_{22}a_{31}$ 是行列式的一部分，它的逆序数 (3, 2, 1) 等于 2 + 1 = 3

所有它的符号是 $-1^{3} = -1$

0X02 「行列式」的性质

假设有行列式 D,则有以下性质：

$D = D^T$

$D^T$ 是转置的意思，其实就是把整个行列式按照主对角线对称

对换行列式的两行（列）行列式变号

比如我们将行列式简写成：

$\left|\begin{matrix}C1&C2&C3\\\end{matrix}\right|$

如果交换 $C_1, C_3$ 则有：

$\left|\begin{matrix}C1&C2&C3\\\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}C3&C2&C1\\\end{matrix}\right|$

如果有两行（列）完全相同，则此行列式为 0

$\left|\begin{matrix}C1&C2&C1\\\end{matrix}\right| = 0$

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用 k 乘以此行列式

$\left|\begin{matrix}C1&C2&kC3\\\end{matrix}\right| = k\left|\begin{matrix}C1&C2&C3\\\end{matrix}\right|$

如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为 0

$\left|\begin{matrix}C1&C2&kC1\\\end{matrix}\right| = 0$

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将行列式按以下方式拆成两个行列式相加

$\left|\begin{matrix}a + m&b + n\\c + x&d + y\end{matrix}\right|$

$=\left|\begin{matrix}a&b + n\\c&d + y\end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix}m&b + n\\x&d + y\end{matrix}\right|$

$= \left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix}a&n\\c&y\end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix}m&b\\x&d\end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix}m&n\\x&y\end{matrix}\right|$

矩阵——基础知识
前言：现在我们开始复习矩阵的基础知识，开始学习的时候要注意和「行列式」的区别加法与行列式的加法不同：只能相同...
行列式——基础知识
前言：开始线性代数的复习 0X00 「二阶行列式」与「三阶行列式」首先我们来看看两个最基础的「行列式」：二阶行...
行列式
1. n阶行列式定义 2. 行列式性质行列式与它的转置行列式相等。转置行列式对换行列式的俩行（列），行列式变...
线性相关
△行列式的概念全排列对换 n阶行列式转置行列式 △△△△行列式的性质 △△△应用行列式的性质余子式和代数余...
线性代数笔记18
行列式与特征值行列式行列式为零矩阵是奇异的行列式不为零矩阵是可逆的但是行列式的意义不止这点交换行会...
行列式定义
n阶行列式 n阶行列式标识形式行列式展开按行展开 - 特殊行列式下三角行列式规律行标取标准排列123 列标...
行列式
1.行列式的定义 2.行列式的性质 3.各种行列式类型的计算 4.行列式展开 5.克拉默法则齐次方程：行列式不为...
常见的补充成范德蒙行列式
预备知识：范德蒙行列式观察式子发现可以补成范德蒙行列式我们将这个行列式补成范德蒙行列式这个范德蒙行列式按照最后...
2019-03-20
行列式的性质互换行列式中的两行（列），行列式变号推论：如果行列式D中有两行（列）完全相同，则如果行列式D 中有...
线性代数-行列式性质
D === 一、转置行列式：将D的行列互换（）得到为D的转置行列式 ==== 性质一、行列式与它的转置行列式相等，...

行列式——基础知识

0X00 「二阶行列式」与「三阶行列式」

二阶行列式

三阶行列式

0X01 「行列式」的定义

什么是「逆序数」

0X02 「行列式」的性质

相关文章

矩阵——基础知识

行列式——基础知识

行列式

线性相关

线性代数笔记18

行列式定义

行列式

常见的补充成范德蒙行列式

2019-03-20

线性代数-行列式性质

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

数学