super_log(欧拉降幂)

super_log

题意：

• 根据题面可以推出一个公式其中的个数是,输出

思路：

• 欧拉降幂(广义欧拉定理)
  =其中

• 

结构1

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1000000;
ll prim[M+10];
ll phi[M+10];
ll vis[M+10];
ll a,b,m;
void getphi( )
{
    int cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(prim,0,sizeof(prim));
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<=M; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prim[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0; j<cnt&&i*prim[j]<=M; j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
                break;
            }
            else
            {
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
            }
        }
    }
}
ll pow(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ans=1;
    ll base=a;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans=ans%mod*base%mod;
        }
        base=base%mod*base%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll solve(ll a,ll b,ll mod)
{
    if(mod==1)//模数为1时停止计算，因为之后的结果都是相同的
    {
        return 0;
    }
    if(b==1)//最后一个a,最上面的a上面没有a了，所以最上面的a的指数为1
    {
        return a%mod;
    }
    ll d=solve(a,b-1,phi[mod]);//d=0假如d==0就一定是通过模phi[mod]得来的0
                              //所以它一个加上phi[mod]就是else语句;
    if(d<phi[mod]&&d)//d小于phi[mod]并且d不等于0                  
    {
        return pow(a,d,mod);
    }
    else
    {
        return pow(a,d+phi[mod],mod);
    }

}
int main( )
{
    getphi( );
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
        if(b==0)
        {
            printf("%lld\n",1%m);
            continue;
        }
        printf("%lld\n",solve(a,b,m)%m);
    }
    return 0;
}

结构2

• powmod(a, solve(l + 1, r, phi[m]), m);
  个的模数是，
  个的模数是;
  个的模数是
  m->phi[m]->phi[phi[m]]
  根据扩展欧拉定理等于 x >= m ? x % m + m : x;

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1000000;
ll prim[M+10];
ll phi[M+10];
ll vis[M+10];
ll a,b,m;
void getphi( )
{
    int cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(prim,0,sizeof(prim));
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<=M; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prim[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0; j<cnt&&i*prim[j]<=M; j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
                break;
            }
            else
            {
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
            }
        }
    }
}
ll mod(ll x, ll m)
{
    return x >= m ? x % m + m : x;
}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = mod(ans * a, MOD);//根据广义欧拉定理,大于指数大于模数的欧拉函数就要变换，否则就是原数
        // ans = ans * a % MOD;
        // a = a * a % MOD;
        a = mod(a * a, MOD);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll solve(ll l,ll r,ll m)
{
    if (l == r || m == 1)
        return mod(a, m);
    return powmod(a, solve(l + 1, r, phi[m]), m);
}
int main( )
{
    getphi( );
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
        if(b==0)
        {
            printf("%lld\n",1%m);
            continue;
        }
        else
        {
            printf("%lld\n",solve(1,b,m)%m);
        }
    }
    return 0;
}