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复数的基本概念

复数的基本概念

作者: CODERLIHAO | 来源:发表于2021-02-23 11:14 被阅读0次

复数域

z=x+iy或者z=x+yi,i^2=-1

实数x与y分别称为复数z的实部和虚部，记作
x=Re z,y=Im z
虚部为零的复数就可以看作实数，虚部不为零的复数称为虚数
x+iy和x-iy称为互为共轭复数
复数运算
z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)\\ z_1 z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2) + i(x_2y_1-x_1y_2)}{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}},z_2\neq0

复平面

image-20210223092824279.png image-20210223092927870.png

复数的模与辐角

r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0

\tan\theta=\frac{y}{x}, 称为复数z的辐角（Argument），记作\theta= Arg z

我们知道，任一非零复数z有无穷多个辐角，今以arg z表示其中的一个特定值，并称合条件
-\pi <arg \ z 小于等于 \pi
的一个为Arg z的主值，或称之为z的主辐角。
\theta=Arg\ z=arg \ z + 2k\pi,k=0,\pm1,\pm2,\cdots
当z=0时，辐角无意义。

单位复数

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

当r=1时，有
z=\cos\theta+i\sin\theta
称为单位复数。
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \ (欧拉公式)

e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ \frac{e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}

复数的指数形式
z=re^{i\theta}
也就是说，任一非零复数z总可以表成
z=|z|e^{i \ arg\ z}

复数乘法与旋转

z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1 +\theta_2)}\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}

\therefore |z_1z_2|=|z_1||z_2|,|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|},z_2 \neq 0

所以两个复数相乘相当于模相乘，辐角相加,相除就是模相除，辐角相减

image-20210223095915573.png

特别的我们拿i乘以一个复数
iz=i(x+iy)=-y+ix

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复数的乘幂与方根

z^{n}=(re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta),z \neq0\\ \therefore |z^{n}|=|z|^{n}\\ Arg\ z^{n}=nArg\ z
当r=1,就是棣莫弗公式
(\cos\theta + i\sin \theta)^{n}=\cos n\theta + i\sin n\theta

复数w的n次方就是复数z，求出复数w\\ w^{n}=z,z \neq0,n \geqslant2,整数

令记其根的总体为\sqrt[n]{z},设z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\varphi},则\\ \rho^{n}e^{in\varphi}=re^{i\theta}\\ \therefore \rho^{n}=r,n\varphi=\theta+2k\pi

\therefore \rho =\sqrt[n]{r} =\sqrt[n]{|z|} \\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}

所以z的n次方根为
w_k=\rho e^{i\varphi}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},k=0,\pm1,\pm2,\cdots
把上面的式子改为
w_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot w_0\\ w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}}

w_k就是在复平面内由w_0依次绕原点旋转 \frac{2\pi}{n},2\cdot\frac{2\pi}{n},3\cdot\frac{2\pi}{n},\cdots

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复数乘法与矩阵

假设复数 p = a+bi，乘上复数q=r\cos \theta +i r\sin\theta\\ pq=ar\cos\theta-br\sin\theta+(ar\sin\theta + br\cos\theta)i=a^{'}+b^{'}i\\ 用矩阵表示\\ \left[ \begin{matrix} a^{'}\\ b^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} ar\\ br \end{matrix} \right]

这不就是二维空间中点（a,b）绕原点逆时针旋转\theta角吗,模长也扩大了r倍

https://www.youtube.com/watch?v=lKIBFLQZZUk

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