向量的基本几何意义

向量简介

线性代数最基本最根源的部分就是向量。

从物理学的角度出发向量是空间中的箭头，决定一个向量的是长度和方向。
从计算机的角度出发向量是有序的数字列表

数学上，向量可以任何东西，只要保证两个向量相加以及数字语向量的乘积有意义即可。

向量既有大小又有方向 是一个几何概念
标量只有大小没有方向

是某一个向量的几何表示。在数学中必须把向量放在某一坐标系下研究。如果把空间中的所有向量的尾部都拉到坐标原点，这样N维点空间就可以和N维向量空间建立一对一对应关系。 n维空间中的点(0,0,0,0...)取作原点，每一个点都可以让一个向量和它对应，这个向量就是从坐标原点出发到这个点为止的向量。

一个向量可以被分解为三个单位坐标向量的线性表示比如向量(1,1,1)可以分解得到：

(1,1,1) = (1,0,0) + (0,1,0) + (0,0,1) = i + j + k

那么任意一个向量a = (x, y, z) 就可以表示为

a = (x,y,z) = xi + yj + zk

也就是单位向量的线性表示。显然分别对单位坐标向量进行缩放x,y,z倍然后相加，就得到了(x,y,z)的图像。

向量的分解 任意向量的分解

向量的运算有加减乘，乘法又有点积和叉积两种，没有除法。

向量和点的关系：向量表示的是两点之间的位移而不是空间中的物理位置，向量实际上是用一个点来表示的，比如 表示起点是A，终点是B。之所以把一个点和一个向量对应，是因为默认所有的向量都是从原点出发的。

向量加法的几何以及物理意义

二维分量解析式为a = (a_x, a_y) b = (b_x, b_y) a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y) 它的几何意义？

向量加法的平行四边形法则几何解释

向量c是平行四边形的对角线，就是平行四边形法则的几何解释

3blue1brown 线性代数的本质

向量内积的几何意义

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。

a * b = |a||b|cosθ

a * b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = ab_x

特定坐标系下向量的计算
因此向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积