一、什么是逻辑推理
逻辑推理又叫逻辑论证，论证有两种类型：演绎论证、非演绎论证。其中非演绎论证又分为两种：归纳论证和类比论证。论证由前提和结论组成，而前提和结论的基本单位是命题，命题的基本单位是范畴，而范畴就是人们理解的各种概念，例如「苹果」「食物」这些名词概念，都是人对于某些具有相似特征的物品定义的概念，这个概念圈定了物品的定义下包含的范围。
论证本质上是范畴的推导，从已知范畴推导未知范畴。例如常见的三种论证
演绎论证：所有的食物都能吃，葡萄是食物，所以葡萄能吃。
归纳论证：中国的天鹅是白色，美国的是白色，英国的是白色，所以世界上所有的天鹅是白色。
类比论证：水滴石穿，因此人只要能坚持，一定能把事情做好。
从上面三个例子中可以看出，只有演绎论证是必然有效的，后面两个例子不一定是有效的。所以在逻辑中只有演绎论证是必然性推理，通过有效与否（sound）来判断，而归纳论证和类比论证叫或然性推理，通过归纳强度和类比可接受度来判断。
二、演绎论证
演绎论证是从一般到特殊的推理逻辑，从大范畴推导小范畴，最常见的是小学生都会的三段论：
人会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死
其中「人会死」与「苏格拉底是人」是前提，「苏格拉底会死」是结论。这个看起来非常简单，但其应用广泛，最复杂的计算机逻辑就是从最简单的概念推导而来，例如前面的例子
所有的食物都能吃，葡萄是食物，所以葡萄能吃。
推理的范畴
这种对范畴的判断最早可追溯到亚里斯多德，在其提出的逻辑中只包含了演绎论证，或者形式逻辑。
亚里斯多德
在演绎逻辑中，最基础的是直言判断，主要描述范畴之间的关系，有四种标准形式（AEIO）：
A：所有的...都是...：所有的四川人都是中国人
E：所有的...都不是...：所有的日本人都不是美国人
I：有的...是...：有的学生是班长
O：有的...不是...：有的大学生不是党员
省略号中的短语叫做词项，第一个省略号位置的是叫做主项，第二个叫做谓项，注意词项只能是名词。
AEIO
这四种描述可以用画圈圈的方式来表示，叫做文恩图，用S代表主项，P代表谓项，如图所示：
文恩图
这种四种命题的关系可以用对当关系来描述就是这样的，对角线的为矛盾关系，左右互为反对关系，上对下是包含关系，这就是对当方阵（square of opposition）
对当方阵（square of opposition）
回到三段论中，三段论都是由两个前提和结论组成，而每个直言命题都可以用AEIO进行表述，于是就会出现4X4X4=64种组合关系，但这64个式中大多数违反三段论的一般规则，根据三段论的规则，我们很容易把一些无效式排除掉，结果只剩下11个式不违反三段论的一般规则。这11个式是：AAA、AAI、AEE、AEO、AII、AOO、EAE、EAO、EIO、IAI、OAO。
而由于每个命题中有SPM三个词项，而其中中项的关系可以出现在不同位置，于是可以分成四格
前面的64种组合形式，加上4格的组合，可以出现64x4=256种组合，其中只有15种组合是有效的，分别是
第一格（中项是大前提的主项和小前提的谓项）
1.AAA-1
2.EAE-1
3.AII-1
4.EIO-1
第二格（中项在两个前提中都做谓项）
5.AEE-2
6.EAE-2
7.AOO-2
8.EIO-2
第三格（中项在两个前提中都做主项）
9.AII-3
10.IAI-3
11.EIO-3
12.OAO-3
第四格（中项在大前提做谓项、小前提做主项）
13.AEE-4
14.IAI-4
15.EIO-4
看到这里，很多人会比较懵也奇怪，这种逻辑推导有什么用，这种判断关系就是数学以及计算机科学的基础，通过将命题判断替换为数字的运算，即用1和0替代真假判断，而命题之间的关系用符号（∧ /∨ /┐,+-*）代替。布尔提出的布尔运算用数学符号代替命题演算逻辑，而信息论之父香农发现可以将运算外包用机器来实现，后来有了现代信息世界的发展。
三、归纳论证
归纳论证是从特殊到一般的推导逻辑，其代表作是培根的《新工具论》。与演绎逻辑中经典三段论一样，归纳也有归纳三段论：
大多数X是Y，
这是X，
所以，这就是Y。
例如「大多数成都人爱吃辣，小王是成都人，所以小王爱吃辣」。但在日常沟通中，往往会省略其中的前提，例如「小王是成都人，所以小王爱辣」，而会省略「大多数成都人爱吃辣」这个前提。
从例子中可以看出，归纳推理不一定是有效的，所以归纳推理不会用有效与否来衡量，而是用归纳强度来衡量。归纳强度取决于前提「大多数X是Y」中Y在X中的比例。
Y在X中的比例通过统计学可以测量，但在日常生活中没法对总体都进行测试，例如没法对每个成都人进行调查其对辣椒的偏好，所以只能选取部分样本进行测试，然后代表整体的比例。但这对抽样调研的样本有要求，需要选取具有同样特征的群体进行测量，否则会出现偏差。而这个影响所关注特征的因素叫做「相关因素」，而为了减少由于样本抽样特征带来的影响，减少统计偏差，最佳的策略就是「随机抽样」，这是有统计学泰斗费舍尔发明的统计方法。
费舍尔（Ronald Aylmer Fisher）
相比于非常纯粹的演绎推理，归纳推理在日常生活中应用要多很多，因为面临的现实生活很多东西都是未知的。相较于简单的归纳三段论中，大多数X是Y这个前提，我们都需要花费很多精力把这两者的相关关系可以建立起来，即如何找出相关因子，确认哪些特征属于那个类型中。而找出相关因子进行归类，针对这个问题，哲学家密尔在《逻辑学体系》提出了著名的密尔五法（Mill's Five Canons），即
求同法：考察几个出现某一被研究现象的不同场合，如果各个不同场合除一个条件相同外，其他条件都不同，那么，这个相同条件就是某被研究现象的原因。
求异法：比较某现象出现的场合和不出现的场合，如果这两个场合除一点不同外，其他情况都相同，那么这个不同点就是这个现象的原因
求同求异法：如果某被考究现象出现的各个场合（正事例组）只有一个共同的因素，而这个被考察现象不出现的各个场合（负事例组）都没有这个共同因素，那么，这个共同的因素就是某被考察现象的原因。
共变法：在其他条件不变的情况下，如果某一现象发生变化另一现象也随之发生相应变化，那么前一现象就是后一现象的原因
剩余法：如果某一复合现象已确定是由某种复合原因引起的，把其中已确认有因果联系的部分减去，那么，剩余部分也必有因果联系。
密尔John Stuart Mill
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