矩阵分析 (五) 矩阵的分解

作者: 小小何先生 | 来源:发表于2020-01-15 20:31 被阅读0次

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矩阵的对角分解

定理5.1 $A$ 为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵 $Q$ ,使得：

$Q^{H}AQ= \Lambda ，\Lambda =diag(\lambda_{1}，\lambda_{2}，\cdot，\lambda_{n})$

例1 设 $A$ 是 $n$ 阶正规矩阵，其特征值 $\lambda_{1}$ ， $\lambda_{2}$ ， $\cdots$ ， $\lambda_{n}$ ，则：

$A$ 是厄米特矩阵的充要条件是： $A$ 的特征值全是实数；
$A$ 是反厄米特矩阵的充要条件是： $A$ 的特征值为零或纯虚数；
$A$ 是酉矩阵的充要条件是： $A$ 的每个特征值 $\lambda_{i}$ 的模 $|\lambda_{i}|=1$ 。

矩阵的三角分解

定义5.1：设 $A \in C^{n \times n}$ ，如果存在下三角矩阵 $L \in C^{n \times n}$ 和上三角矩阵 $R \in C^{n \times n}$ ，使得 $A =LR$ ，则称 $A$ 可以作三角分解。
定理5.2：设可逆矩阵 $A \in C^{n \times n}$ ，则 $A$ 可以作三角分解的充要条件是 $A$ 的所有顺序主子式不为零。
定义5.2：设 $A \in C^{n \times n}$ ，

如果 $A$ 可以分解为 $A =LR$ ，其中 $L$ 是对角线元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵）， $R$ 为上三角矩阵，则称之为 $A$ 的Doolittle分解。

如果 $A$ 可以分解成 $A=LR$ ， $R$ 是对角线元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为 $A$ 的Crout分解。

如果 $A$ 可以分解成 $A=LDR$ ，其中 $L，D，R$ 分别是单位下三角矩阵、对角矩阵、单位上三角矩阵，则称之为 $A$ 的LDR分解。

如果 $A \in C^{n \times n}$ 是正定的厄米特矩阵，则存在下三角矩阵 $G$ 使得 $A=GG^{H}$ ，称之为 $A$ 的Cholesky分解。

矩阵的满秩分解

这一节讨论一种将矩阵分解为列满秩与行满秩矩阵的乘积。

定义5.3：设 $A \in C^{n \times n}$ ，如果存在 $F \in C^{n \times r}_{r}$ ， $G \in C^{r \times n}_{r}$ ，使得 $A=FG$ ，则称为矩阵 $A$ 的满秩分解。
定理5.3：设 $A \in C^{n \times n}$ ，则 $A$ 满秩分解总是存在的。

舒尔定理与矩阵的QR分解

舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理的出发点。而矩阵的 $QR$ 分解在数值化代数中起着重要的作用，是计算矩阵特征值以及求解线性方程组的重要工具。

定理5.4：(舒尔定理)若 $A \in C^{n \times n}$ ，则存在酉矩阵 $U$ ，使得：

$U^{H}AU=T$

这里 $T$ 是上三角矩阵， $T$ 的对角线上的元素都是 $A$ 的特征值。

定理5.5：(QR分解定理)设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，则存在酉矩阵 $Q$ 及上三角矩阵 $R$ ，使得：

$A=QR$

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