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复数的三角表达与指数表达

复数的三角表达与指数表达

作者: 断臂残猿 | 来源:发表于2019-01-06 18:02 被阅读0次

引子

三角函数是几何中圆形的解析表达方式。指数函数通常和几何没有什么关系，它们是怎么关联起来的呢？

这要归功于欧拉公式： 欧拉公式

当\theta = \pi时，欧拉公式演变为-1 + 0 = e^{i\pi}即e^{i\pi}+1=0，被评为“最美数学公式”。
当\theta = 2\pi时，欧拉公式演变为1 + 0 = e^{2i\pi}即(e^{i\pi})^2=1。
当\theta = \frac{\pi}{2}时，演变为i = e^{i \frac{\pi}{2}};

复数的表示

复数的二维解析表达式是z = x + \text{i}y，其中x是实部，y是虚部。
如果使用极坐标，模为r幅角为\theta的复数可以表示为z=r(\cos \theta + \text{i} \sin \theta)。

在复平面中绘制单位圆，原点到圆周上的点长度都是1，构成的向量是“单位向量”。圆周上的点对应的复数都叫“单位复数”。
当复数模为1时（即x^2+y^2=1），z=\cos \theta + \text{i} \sin \theta，就是欧拉公式的一边。

代入欧拉公式，z=r(\cos \theta + \text{i} \sin \theta) = r e^{i\theta}。

我们重新表达一下离散傅里叶变换DFT入门中x^8=1的8个单位复根

单位复根

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