第十章：股票期权的性质

作者: 找不到工作 | 来源:发表于2019-11-25 23:26 被阅读0次

第十章：股票期权的性质
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10.1 期权价格的影响因素

有六个因素会影响股票期权的价格，他们对期权的影响可以总结为下表（+表示正相关，-表示负相关）：

变量	欧式看涨	欧式看跌	美式看涨	美式看跌	理由
当前股票价格 $S$	+	-	+	-	标的物涨价对看涨期权有利
执行价格 $K$	-	+	-	+	看涨期权的执行价格是买入价，看跌期权的是卖出价
到期时间 $T$	?	?	+	+	到期日长说明美式期权有更多机会选择行权
股票价格的波动率 $\sigma$	+	+	+	+	由于可以选择行权与否，波动率大对看涨看跌期权均有利
无风险利率 $r$	+	-	+	-	由于利率升高，未来现金流折现变低，因此对于卖出资产换取未来现金流的看跌期权是不利的。注意我们在这里假设利率变化不影响股票价值。实际上，加息倾向于导致股票下跌，因此综合作用下结果并不确定
股息	-	+	-	+	股息将使股票在除息日价格降低，对看跌期权有利

例 1

假设 $c_1$ , $c_2$ , $c_3$ 分别代表执行价格为 $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ 的欧式看涨期权价格，其中 $K3 > K2 > K1$ 且 $2K_2 = K_1+K_3$ 。所有期权具有同样的到期日。证明： $c_2 <= 0.5(c_1+c_3)$

构造如下 portfolio：

买入执行价格为 $K_1$ 和 $K_3$ 的欧式看涨期权各 1 个，卖出执行价格为 $K_2$ 的欧式看涨期权 2 个

该 portfolio 的收益可以通过这 4 个期权收益求和得到。根据到期日股票价格 $S$ 分以下情况讨论：

$S \leq K_1$ 时，对于拥有执行价格为 $K_1$ 和 $K_3$ 的 call，我们不会行权。同时，对于卖出的执行价格为 $K_2$ 的 call，交易对手也不会行权。因此此时收益是 0。
$K_1 < S \leq K_2$ 时，我们可以对执行价格为 $K_1$ 的 call 行权，收益为 $S-K_1$ 。
$K_2 < S \leq K_3$ 时，我们可以对执行价格为 $K_1$ 的 call 行权，同时执行价格为 $K_2$ 的 call 会被交易对手行权。因此总收益为 $(S-K_1) - 2(S-K_2)$ ，由于 $2K_2 = K_1 + K_3$ ，总收益等价于 $K_3-S$ 。
$K_3 \leq S$ 时，对手和我们都会行权。收益为 0。

现货价格	1 long call profit (strike price K1)	1 long call profit (strike price K3)	2 short call profit (strike price K2)	Total Value
$S \leq K_1$	0	0	0	0
$K1< S \leq K2$	$S - K_1$	0	0	$S - K_1$
$K2 < S \leq K3$	$S - K_1$	0	$-2(S-K_2)$	$K_3 - S$
$K_3 \leq S$	$S - K_1$	$S - K_3$	$-2(S-K_2)$	0

因此该组合的收益在 0 到 $K_2-K_1$ 之间，一定非负。因此必然有 $c_1 + c_3 - 2c_2 >= 0$ 。

又或者，构造两个 portfolio：

portfolio A：一个执行价格为 $K_1$ 的 call 和一个执行价格为 $K_3$ 的call
portfolio B：两个执行价格为 $K_2$ 的 call

同样根据以上的分析可以得出，A 的收益始终是大于或者等于 B 的收益。因此 A 的价格必须也大于 B 的价格，否则会出现套利机会。

10.3 期权价格的上下限

如果一个期权的价格出超出了上下限，那么就会产生套利机会。

美式和欧式看涨期权具有相同的上下限。

10.3.1 上限

看涨

美式和欧式看涨期权给予持有者以一定价格买入股票的权利。显然，期权价格不能比股票价格还高。否则可以通过卖出看涨期权并买入股票套利。假设看涨期权价格为 $c$ , 当前股票价格为 $S_0$ ，则有：

$c \leq S_0$

看跌

美式和欧式看跌期权给予持有者以一定价格卖出股票的权利。期权的价格显然不能比执行价格折现后价格还高。否则可以卖空期权，并用收益做无风险投资套利。假设看跌期权价格为 $p$ ，执行价格为 $K$ ，无风险利率为 $r$ ，到期时间为 $T$ ，则有：

$p \leq Ke^{-rT}$

对于美式的看跌期权，有

$p <= K$

10.3.2 下限

总结来讲，期权价格下限是执行价格折现后( $K e^{-rT}$ )与现货价格 ( $S_0$ ) 的差价。

看涨

我们想象一个交易者(A) 以价格 $S_0$ 买入了某股票。

另一个交易者(B)以价格 $C$ 购买该股票的欧式看涨期权，同时还持有 $T$ 时刻后行权必备的现金 $Ke^{-rT}$ 。

可以证明，交易者 B 在经过 $T$ 到到期日时，他持有资产为 $\max(K, S)$ 。即不低于 A 届时的资产 $S$ 。这是期权给 B 带来的权益。

因此在 0 时刻，根据无套利假设，A 的资产价格必然小于 B。即存在 $S_0 \leq C + Ke^{-rT}$ ，即 $C \geq S_0 - Ke^{-rT}$ ，同时 $C \geq 0$ 。

否则有如下套利机会：

0 时刻，卖空股票获得收益 $S_0$ ，并以 $C$ 价格买入看涨期权，剩余钱用作利率为 $r$ 的无风险投资
T 时刻分两种情况：
- 当 $S > K$ ，以执行价格 $K$ 买入股票，获利 $(S_0 - C)e^{rT} - K$
- 当 $S \leq K$ ，以 $S$ 买入股票，获利 $(S_0 - C)e^{rT} - S$

因此，我们得出结论，对于欧式看涨期权，有如下关系：

$C >= S_0 - Ke^{-rT}$

即期权价格不低于执行价格折现后与现货价格的差价。

看跌

对于欧式看跌期权，我们假设进行如下操作：

在 0 时刻，以 $r$ 利率贷款，并分别以 $S_0$ 和 $p$ 价格买入股票和看跌期权，看跌期权到期日为 $T$ ，执行价格为 $K$ 。

在 T 时刻，通过卖出股票收益为 $\max(K, S) \geq K$ ，需还款 $(S_0 + p)e^{rT}$ 。
显然我们必须保证收益不能永远为正，否则存在套利机会。即 $K - (S_0 + p)e^{rT} \leq 0$ 。

可以得出：

$p \geq Ke^{-rT} - S_0$

对于美式的看跌期权，由于它可以提前行权，因此 $K$ 并不需要折现，其下限为

$p \geq K - S_0$

10.3.3 美式期权的提前行权

看涨

对于 in the money 的看涨期权，提前行权获取的收益是 $S-K$ ，而期权价值的下限是 $S-Ke^{-rT}$ ，提前行权会带来以下损失：

在到期日前，期权价值是大于 $S-K$ 的
支付了执行价格 K，无法再获取无风险利息收入
失去期权的保护作用

但是有一个情况除外，假设已经知道某股票会派发大额股息，大于提前行权带来的损失，那我们就会选择提前行权，买入股票来获得股息收益。

综合其上下限，以及在无股息情况下，美式看涨期权不会提前行权的特点，可以绘制以下期权价格随股票价格变化的趋势图：

Euro/American Call

该图需要注意的地方有：

无股息情况下，美式和欧式看涨期权具有相同的价格
价格下限为 $\max(S_0 - Ke^{-rT}, 0)$
价格上限为 $S_0$

看跌

对于 in the money 的看跌期权，提前行权获取的收益是 $K-S$ ，而期权价值的下限是 $Ke^{-rT} - S$ ，因此提前行权不一定会带来损失。

对于深度实值的看跌期权（时间价值很小甚至为负），如果不考虑股息，我们尽早行权可以提前获得 $K$ 并用于赚取无风险利息收入。

由于美式看跌期权提前行权可能是最优策略，因此欧式和美式价格并不相同。

American Put

该图需要注意的是：

价格上限是 $K$
价格下限是 $\max(K - S_0, 0)$
对于 deep in the money 的欧式看跌期权（当 $S<A$ ），其价格等于 $K-S$ 。
美式看跌期权价格总是不小于对应的欧式看跌期权价格
在 $A$ 点之前，美式看跌期权价格总是等于其内在价值 $K-S$ 。因此时间价值为0。
由 4 和 5，可知在 $A$ 点之前，欧式看跌期权的时间价值为负数

Euro Put

该图需要注意的是：

价格上限是 $Ke^{-rT}$
价格下限是 $\max(Ke^{-rT} - S_0, 0)$
虚线 $\max(K-S_0, 0)$ 是为了和美式看跌期权做比较绘制的，交点是 $B$
对于 deep in the money 的欧式看跌期权（当 $S<B$ ），其价格约等于 $K-S$ 。
在 $B$ 点之前，欧式看跌期权价格小于其内在价值 $K-S$ ，因此它的时间价值为负。
在 $B$ 点，欧式看跌期权价格等于其内在价值 $K-S$ ，由于美式看跌期权价格在欧式的上方，因此在股票价格等于 $B$ 时，美式期权价格是大于 $K-S$ 的，即在 $A$ 点之后，因此必然有 $B>A$ 。
在 $B$ 点之后，欧式看跌期权时间价值为正。

10.4 Put-Call 平价关系

10.4.1 欧式期权

我们现在推导欧式看涨和看跌期权在相同执行价格和到期日的情况下的价值关系。

考虑以下两种投资组合：

Portfolio A: 欧式看涨期权，以及在 $T$ 时刻提供 $K$ 现金流的零息债券
Portfolio C: 欧式看跌期权，以及对应的股票

这两种投资组合在 $T$ 时刻的价值如下表：

投资组合	S > K	S <= K
A	看涨期权: $S-K$ ，债券： $K$ ，共 $S$	看涨期权：0，债券： $K$ ，共 $K$
C	看跌期权: 0，股票： $S$ ，共 $S$	看跌期权： $K-S$ ，股票： $S$ ，共 $K$

因此在 $T$ 时刻总有两种组合价值相等。这说明，在 0 时刻，这两个 portfolio 也必须相等，否则我们可以通过买入便宜的那个并出售贵的那个进行套利（这两种投资组合总能相互抵消）。

因此我们得出传说中的 put-call parity：

$c + Ke^{-rT} = p + S_0$

这个式子表明了具有相同执行价格和到期日的 call 和 put 的价格只要确定了其中一个，另一个也随之确定。

在股息发放时候（假设为 $D$ ），上式变为

$c + D + Ke^{-rT} = p + S_0$

例 1

对于一支支付股息的股票，为什么说它的美式看涨期权价格至少是它的内涵价值？这个结论对欧式看涨期权成立吗？

美式期权可以在到期日前任何时候执行，若执行则立即获得其内涵价值 $S-K$
美式期权赋予了持有者选择何时执行的权利，而这个权利本身也具有价值。

对于欧式看涨期权，这个结论并不一定成立。

假设这个股票会在期权到期日前发放高额的股息，因此股票价格会下跌，而欧式期权只能等到发送股息结束后才能行权，因此其价值可能会低于 $S-K$ 。

将我们的 pull-call-parity 公式（不适用于美式期权）变为以下形式：

$c = p + S - Ke^{-rT} - D$

假设我们这一对 call 和 put 的执行价格非常低，以至于 put 价格约等于 0，则有 $c = S - Ke^{-rT} - D$ ，当 $D$ 足够大时可能小于 $S - K$ 。

例 2

在交易所，看涨期权比看跌期前更早被引入，在仅有看涨期权时，对于一个无股息的股票，如何构造一个欧式看跌期权？

利用 call-put-parity，可得：

$p = c + Ke^{-rT} - S$

这是看跌期权的价格，那么我们买入看跌期权，相当于是 $-p$ ，

我们已经证明了以下两个投资组合具有同样的收益：

Portfolio A: 欧式看涨期权，在 $T$ 时刻提供 $K$ 现金流的零息债券
Portfolio C: 欧式看跌期权，以及对应的股票

以上两个 portfolio 同时出售一个股票后仍然等效，因此欧式看跌期权等价于：

卖空股票，并持有股票的看涨期权及在到期日足够行权的现金 $Ke^{-rT}$

10.4.2 美式期权

欧式的 put-call-parity 关系对于美式期权并不成立，但是我们可以获得一个不等式。

$S - K \leq C - P \leq S - Ke^{-rT}$

首先，在无股息的前提下，假设美式看涨和看跌期权价格分别为 $C$ , $P$ ，欧式为 $c$ , $p$ 。我们总有 $C = c$ 和 $P \geq p$ 成立。

我们根据

$c + Ke^{-rT} = p + S$

可以得到

$C - P \leq S - Ke^{-rT}$

前半个不等式

$S - K \leq C - P$
等价于

$S + P \leq C + K$

我们考虑以下两个 portfolio：

portfolio A: 持有股票（价格为 $S$ ）以及美式看跌期权（价格为 $P$ ，执行价格为 $K$ ，还有 $T$ 到期）
portfolio B: 持有现金（价格为 $K$ ）以及欧式看涨期权（价格为 $C$ ，执行价格为 $K$ ，还有 $T$ 到期）

则在 $T$ 之后：

$S \geq K$ ：portfolio A 价值为 $S$ ，portfolio B 价值为 $S - K + Ke^{rT}$
$S < K$ : portfolio A 价值为 $K$ ，portfolio B 价值为 $Ke^{rT}$

因此，只要利率 $r>0$ ，必然有 portfolio B 价值大于 portfolio A。因此在 0 时刻也必然有 $S + P \leq C + K$ 。

综上所述，美式call/put的关系为：

$S - K \leq C - P \leq S - Ke^{-rT}$

例 1

无股息股票的美式看涨期权价格为 $4，股票价格为 $31，执行价格为 $30，期限为 3 个月，无风险利率 8%。推导具有相同执行价格和期限的美式看跌期权价格上下限。

带入有

$31 - 30 <= 4 - P <= 31 - 30e^{-0.02}$

因此有 2.406 <= P <= 3.000。

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看涨

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看涨

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10.4 Put-Call 平价关系

10.4.1 欧式期权

例 1

例 2

10.4.2 美式期权

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