平衡二叉树对于初学者一直是一个比较复杂的知识点，因为其里面涉及到了大量的旋转操作。把大量的同学都给转晕了。这篇文章最主要的特点就是通过动画的形式演示。确保大家都能看懂。最后是手写一个平衡二叉树。
一、概念
平衡二叉树是外国的两个大爷发明的。一开始发明的是二叉查找树。后来觉得不给力演化成了平衡二叉树。那什么是二叉查找树呢？我们给出一张图来看看：
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看到这张图我们就会发现如下的特征。从每个节点出发，左边的节点一定小于右边的。但是你会发现这可以高低不平，看起来很不美观。于是慢慢的演化成了平衡二叉树。（当然不是因为美观演化的）。也就是说平衡二叉树的前提就是一颗二叉查找树
平衡二叉树定义(AVL)：
（1）它的左子树和右子树的深度之差(平衡因子)的绝对值不超过1，
（2）它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。
也就是说以上两条规则，只要破坏了一个就不是平衡二叉树了。比如说下面这张图。
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上面这张图就是破坏了二叉查找树这一条规则。当然了还有一条规则。也就是他的高度只差不能超过1.
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现在相信我们已经明白了什么是平衡二叉树。下面我们就来看看平衡二叉树的增删改查操作是怎么样的。
二、平衡二叉树的插入操作
我们先从最简单的入手，一步一步来。
1、右旋
首先我们插入几个数字，50,45,44。通过动画我们来演示一遍
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（1）插入50根节点不会出现任何操作
（2）插入45，往左边插入即可
（3）插入44，破坏了平衡，于是右旋。
2、左旋
我们插入几个数字，50,60,70。通过动画我们来演示一遍
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（1）插入50根节点不会出现旋转
（2）插入60，往右边插入即可
（3）插入70，破坏了平衡，于是左旋。
3、先右旋再左旋
我们依次插入50,60,55.通过动画我们演示一遍
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（1）插入55,根节点，不会出现旋转
（2）插入60，往右边插入
（3）插入55，破坏了平衡，于是先把55和60右旋，然后整体左旋。
4、先左旋后右旋
我们依次插入50,40,45.通过动画我们演示一遍。
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（1）插入55,根节点，不会出现旋转
（2）插入40，往左边插入
（3）插入45，破坏了平衡，于是先把45和40左旋，然后整体右旋。
现在我们基本上已经把插入的几种情况罗列出来了。现在我们画一张图，来一个总结。
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上图对于每一种情况，从上往下看就好了。对于平衡二叉树的删除操作，其实也是同样的道理，找到相应的元素之后，对其进行删除，删除之后如果破坏了平衡，只需要按照上面的这几种情况进行调整即可。下面我们来分析一下平衡二叉树的查找操作。
三、平衡二叉树的查找
平衡二叉树的查找很简单，只需要按照二叉查找树的顺序执行就好。我们使用一张动画演示一下：
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现在平衡二叉树的操作相信你已经能够理解。下面我们就来关注最后一个问题，那就是如何手写一颗平衡二叉树呢？
四、手写一颗平衡二叉树
平衡二叉树的代码操作，难点在于旋转。只要把旋转弄清楚基本上整个树就能完成了，根据上面旋转的特点我们从零开始定义一颗。
第一步：定义节点
public class AVLNode {
public int data;//保存节点数据
public int depth;//保存节点深度
public int balance;//是否平衡
public AVLNode parent;//指向父节点
public AVLNode left;//指向左子树
public AVLNode right;//指向右子树
public AVLNode(int data){
this.data = data;
depth = 1;
balance = 0;
left = null;
right = null;
}
}
第二步：插入数据
public void insert(AVLNode root, int data){
//如果说插入的数据小于根节点，往左边递归插入
if (data < root.data){
if (root.left != null){
insert(root.left, data);
}else {
root.left = new AVLNode(data);
root.left.parent = root;
}
}
//如果说插入的数据小于根节点，往左边递归插入
else {
if (root.right != null){
insert(root.right, data);
}else {
root.right = new AVLNode(data);
root.right.parent = root;
}
}
//插入之后，计算平衡银子
root.balance = calcBalance(root);
// 左子树高，应该右旋
if (root.balance >= 2){
// 右孙高，先左旋
if (root.left.balance == -1){
left_rotate(root.left);
}
right_rotate(root);
}
// 右子树高，左旋
if (root.balance <= -2){
// 左孙高，先右旋
if (root.right.balance == 1){
right_rotate(root.right);
}
left_rotate(root);
}
//调整之后，重新计算平衡因子和树的深度
root.balance = calcBalance(root);
root.depth = calcDepth(root);
}
第三步：左旋和右旋的调整
1、右旋
// 右旋
private void right_rotate(AVLNode p){
// 一次旋转涉及到的结点包括祖父，父亲，右儿子
AVLNode pParent = p.parent;
AVLNode pLeftSon = p.left;
AVLNode pRightGrandSon = pLeftSon.right;
// 左子变父
pLeftSon.parent = pParent;
if (pParent != null){
if (p == pParent.left){
pParent.left = pLeftSon;
}else if (p == pParent.right){
pParent.right = pLeftSon;
}
}
pLeftSon.right = p;
p.parent = pLeftSon;
// 右孙变左孙
p.left = pRightGrandSon;
if (pRightGrandSon != null){
pRightGrandSon.parent = p;
}
p.depth = calcDepth(p);
p.balance = calcBalance(p);
pLeftSon.depth = calcDepth(pLeftSon);
pLeftSon.balance = calcBalance(pLeftSon);
}
2、左旋
private void left_rotate(AVLNode p){
// 一次选择涉及到的结点包括祖父，父亲，左儿子
AVLNode pParent = p.parent;
AVLNode pRightSon = p.right;
AVLNode pLeftGrandSon = pRightSon.left;
// 右子变父
pRightSon.parent = pParent;
if (pParent != null){
if (p == pParent.right){
pParent.right = pRightSon;
}else if (p == pParent.left){
pParent.left = pRightSon;
}
}
pRightSon.left = p;
p.parent = pRightSon;
// 左孙变右孙
p.right = pLeftGrandSon;
if (pLeftGrandSon != null){
pLeftGrandSon.parent = p;
}
p.depth = calcDepth(p);
p.balance = calcBalance(p);
pRightSon.depth = calcDepth(pRightSon);
pRightSon.balance = calcBalance(pRightSon);
}
第四步：计算平衡和深度
1、计算平衡
public int calcBalance(AVLNode p){
int left_depth;
int right_depth;
//左子树深度
if (p.left != null){
left_depth = p.left.depth;
}else {
left_depth = 0;
}
//右子树深度
if (p.right != null){
right_depth = p.right.depth;
}else {
right_depth = 0;
}
return left_depth - right_depth;
}
2、计算深度
public int calcDepth(AVLNode p){
int depth = 0;
if (p.left != null){
depth = p.left.depth;
}
if (p.right != null && depth < p.right.depth){
depth = p.right.depth;
}
depth++;
return depth;
}
看起来代码有些多，其实梳理一下就不多了。
（1）首先定义一个节点，里面有get和set方法，构造函数等等做准备工作
（2）直接写业务流程，比如说这里的insert操作，里面涉及到的旋转操作先用方法代替
（3）对主业务流程的操作，缺哪一个方法，写哪一个方法即可
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