中值定理与导数应用

作者: 君慕獨奏 | 来源:发表于2020-06-07 08:34 被阅读0次

中值定理与导数应用
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微分中值定理

罗尔定理

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：

如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a, b]上连续（没有断点）

（2）、在开区间[a, b]上可导（光滑的）

（3）、f(a) = f(b)

则 $\exists\xi\in (a, b)，使得f’(\xi ) = 0$ （也就是说平行于X轴）

注意

若是有给出了 $f’(x) = 0$ 可以优先考虑一下，用罗尔定理

证明题解法

步骤:

（1）、构造函数f(x)

（2）、验证3个条件

（3）、由罗尔定理可知， $\exists\xi\in (a, b)，使得f’(\xi ) = 0$

例题一

思路：若是细腻一点，就可以看出下面那条是上面那条方程的的导数函数，即是： $f’(x) = 0$ 。所以，最终也是让你证明是罗尔定理，最终得出结论从而证明出这题。

例题二

思路：我们可以看到，这个 $f’(x)$ 又是连续又是可导，可以猜出这可能又是与罗尔定理有关的。但是呢这里的 $f’(x) = \frac{1}{x}$ ，又不符合的样子？别急，我可以把式子变为 $F’(x) = f’(x) - \frac{1}{x} = 0$ .这样的话又符合了。最后按照一步步证明得，这是一个罗尔定理，最后证明得结果

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，为罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

如果 $f(x)$ 满足：

1、在 $[a,b]$ 上连续;

2、在 $(a,b)$ 内可微分（可导）；0

那么至少有一点 ${\displaystyle \xi ,\;a<\xi} < b$ 使下面等式成立

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$ 即是 $K_{切} = {f^{\prime }(\xi )} = \frac{\displaystyle f(b)-f(a)}{(b-a)}$

图像

证明题解法

步骤：

构造函数f(x)

验证2个条件

由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形

例题1

解法：我第一次看这种题型的时候也是一脸的懵逼的，不知如何下手。但是在仔细观察的话，可以发现，只要把 $\ln \frac{m}{n}$ ,可以变形一下，然后再再把不不等式左右两边改变一下。最后就可以看出是一个拉格朗日中值定理函数，最后在进行运算，得出结果。

例题2

思路：下看到这种题型，一定要瞬间明白这是要让你证明拉格朗日。按上一题的思路是一样的。

放出步骤：

构造函数f(x)

验证2个条件

由拉尔定理可知，下结论，对结论式子变形

证明：

令 $f(x) = x^n$

显然可以看出 $f(x)$ 在区间 $[b, a]$ 上连续，在开区间 $(b, a)$ 可导。所以这是一个符合拉格朗日的函数。

由拉格朗日定理可知， $\exists \xi \epsilon (b, a)$ 使得 $f’(x) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$

(现在从左边范围推出右边范围)

所以 $nb ^{n-1} < n\xi ^{n-1} < na ^{n-1}$

所以 $nb ^{n-1} < \frac{a^n - b^n}{a -b} < na ^{n-1}$

所以 $nb ^{n-1}(a - b) < a^n - b^n < na ^{n-1} (a - b)$

例题3

思路：一看这题目，可以很明显的看出可能又是要拉格朗定理有关，只要我们变变形就可以了。这边不掩饰。

零点定理

设函数 $f(x)$ 闭区间 $[a, b]$ 内连续， $且f(a)*f(b) < 0$ ,则存在区间 $(a, b)$ 至少存在一点，使得: $f(0) = 0$

函数的单调性、极值与最值

1、单调性

(1）判定方法：

$f’(x) > 0,则f(x)\uparrow$

$f’(x) < 0,则f(x)\downarrow$

（2）讨论单调性(单调区间)的步骤

①、求定义域

②、求出 $f’(x) = 0$ 和 $f’(x)$ 不存在的点，讲定义域划分若干个子区间

③、列表，根据 $f’(x)$ 在子区间内的符号，确定单调性。

2. 极值

（1）极值的定义

$f’(x) < f(x_{0} )$ ，则 $x = x_{0}$ 为极大值点， $f(x_{0} )$ 为极大值

$f(x) > f(x_{0})$ ，则 $x = x_{0}$ 为极小值点， $f(x_{0})$ 为极小值

（2）极值的判定

①、第一判定定理

$x < x_{0}时， f’(x) > 0; x > x_{0}时，f’(x) </p><p> <img class=$

注：极值点是单调性的分界点，左右两侧f’(x)必然是异号

②、第二判定定理

$f’(x) = 0时$

$f’’(x) > 0时，则x = x_{0}为极小值点$

$f’’(x) < 0时，则x = x_{0}为极大值点$

（3）驻点

若是 $f’(x_{0}) = 0$ ，则 $x = x_{0}$ 为 $f(x)$ 的驻点

注意： $驻点\neq 极值点(没有任何关系)$

若是 $x= x_{0}$ 为f(x)的极值点，则 $f’(x_{0}) = 0$ 或 $f’(x_{0})$ 不存在

（5）求极值点和极值的步骤：

①、确定f(x)定义域

②、求导 $f’(x)$ ,并求出 $f’(x)= 0和f’(x)$ 不存在的点

③、列表

例子1

求函数 $f(x) = \log_4 {(4^x + 1)-\frac{1}{2}x - \log_42 }$ 的单调区间和极值

解法：一般这种情况，都是都可以按照步骤来这样很简单都是可以求出来的，至于简单的运算，就不展开讲了。

3. 最值

步骤：

①、求出所以 $f’(x) = 0和f’(x)不存在的点$

②、求出①中所有点的函数值和端点处的函数值

③、 $最大值 = max[极值，端点值]；最小值 = min[极值，端点值]$

函数的凹凸性与拐点

凹凸性

1、凹曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的下方

2、凸曲线：曲线上的任意点处的切线总位于曲线的上方

凹凸性的判定

$f’’(x) > 0，凹$

$f’’(x) < 0，凸$

拐点

1、凹凸性的分界点称为拐点，记作 $(x_{0}, y_{0})$ 。拐点左右两侧 $f’’(x)$ 必然异号.

2、若点 $(x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $y = f(x)的拐点，则f’’(x_{0}) = 0 或者f’’(x_{0}) 不存在$

凹凸区间及拐点的求解步骤：

（1）、求出定义域

（2）、求出 $f’’(x_{0}) = 0 或者f’’(x_{0}) 不存在$ 的点

（3）、列表，由 $f’’(x)$ 符号得出凹凸区间，凹凸区间的分界点即为拐点

例子

思路：我们把它进行二次导以及找出定义域，最后令得出来的二阶导函数小于0，得出取值范围，再根据定义域得出最后的凸区间

渐近线

水平渐近线

若 $\lim_{x\to∞} f(x) = C$ 则称 $y = C是y = f(x)$ 的一条水平渐近线。

函数趋近于无穷大时，是否是常数

垂直渐近线

$若\lim_{x\to0} f(x) = ∞$ ，则称 $x = x_{0}$ 是 $y = f(x)的一条垂直渐近线$

利用单调性证明不等式和根的存在性

一、不等式的证明步骤：

（1）、构造函数f(x)

（2）、求导判断单调性

（3）、大于最低点，小于最高点

例子1

思路：按我们大标题来说，我们应该用单调性来证明不等式根的存在性。这里我们首先构造出一个函数，然后再求导得出他们的单调性最后在证明例子成立

$令f(x) = x - e^x + 1$

所以有 $f’(x) = 1 - e^x$

因为 $x > 0$

所以 $e^x > 1$

所以 $f’(x) < 0$

所以 $f(x) 在(0, +∞)是递减的$

又因为 $f(0) = 0$

所以 $f(x) < f(0) = 0$

$所以x - e^x - 1 < 0$

所以 $x < e^x -1$

二、唯一根的证明步骤

（1）、利用零点或罗尔定理证明至少有一个根

（2）、求导判断函数单调性，得唯一根

例题1

思路：我们先用罗尔定理或者零点定理证明至少有一个跟，然后在求导，得出单调性以及无不存在点得唯一根。

例题2

已知函数 $f(x) = arc\tan \frac{1}{x}$ ，试问方程 $f(x) = x$ 在区间（0， +∞）有多少个实根

思路：这一个题目有点意思啊，我们可以按步骤一步步来，但是我们用零点定理来证明只至少有一个根时，考虑到定义域时 $(0, +∞)$ ，不是闭区间，所以要用 $\lim_{x\to0} x；\lim_{x\to∞} x$ 来代替f(0), f(∞)

恒等式的证明

步骤：

（1）、构造函数 $f(x)$

（2）、求导验证 $f’(x) = 0$

（3）、 $f(x) = f(x_{0}) = C$

例题

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微分中值定理

罗尔定理

注意

证明题解法

例题一

拉格朗日中值定理

图像

证明题解法

例题1

例题2

证明：

例题3

零点定理

函数的单调性、极值与最值

1、单调性

2. 极值

例子1

3. 最值

函数的凹凸性与拐点

凹凸性

凹凸性的判定

拐点

凹凸区间及拐点的求解步骤：

例子

渐近线

水平渐近线

垂直渐近线

利用单调性证明不等式和根的存在性

一、不等式的证明步骤：

例子1

二、唯一根的证明步骤

例题1

例题2

恒等式的证明

步骤：

例题

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