泰勒公式

基本介绍

泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式形式

泰勒公式是将一个在x=x₀处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x₀）的n次多项式来逼近函数的方法。

说的通俗点就是求 f(x) 在x₀的近似解

若函数f（x）在包含x₀的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x₀处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x₀）xⁿ的高阶无穷小。

因为低于或者等于xⁿ的多项式已经在前面展示了.

余项

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） ^[3]

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

公式推导

我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

于是：

其中误差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确.

因为在近似计算中Δx 不可能趋向于0,因此结果不是非常精确,.也可以理解为精确度不够, 误差比较大.为了能更精确的估算出误差.我们就想到了下列的办法.定义一个多项式.看看能不能将误差缩小

于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

来近似地表示函数f（x）且要写出其误差f（x）-P（x）的具体表达式。

不是每个函数都可以用上述多项式来近似的求值的.需要满足一下条件才行 .

于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：

至此，多项的各项系数都已求出，得：

以上就是函数的泰勒展开式。

接下来就要求误差的具体表达式了。设，令得到：

进而：

根据柯西中值定理：

柯西（Cauchy）中值定理：设函数f(x),g(x) 满足
⑴在闭区间[a,b]上连续；
⑵在开区间(a,b)内可导；
⑶对任意 x∈(a,b),g'(x)≠0;
那么在(a,b)内至少有一点ξ∈(a,b)使得

成立

其中θ1在x和x0之间；

详细使用中值定理 推导

继续使用柯西中值定理得到：

其中θ2在θ1和x0之间；
连续使用n+1次后得到：

其中θ在x和x₀之间；

上面的公式我们对

是未知的,因此我们需要求解它.
Rn(x)是（x-x₀)ⁿ的高阶无穷小。

同时：

上面公式这样看 f(x)=p(x)+Rn(x) 两边同时求n+1次导数
所以 f⁽ⁿ⁺¹⁾ = p⁽ⁿ⁺¹⁾ + Rn⁽ⁿ⁺¹⁾(x)
移项所得上面公式

而：

P⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) = (n+1)!A_(n+1)=0
因为Θ->x0,因此是近似等于.

进而：

综上可得：

一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把R_n（x）写为R_n。

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泰勒级数简介

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。

概述

定义

定义：如果 f(x)在点x=x₀具有任意阶导数，则幂级数

称为f(x)在点x₀处的泰勒级数

幂函数 原函数

原函数

的导数公式

导数

在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数

称为麦克劳林级数。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。

注意：如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。

定理

定理一

f(x)设函数f(x)在x₀的某个邻域

内具有任意阶导数，则函数f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项

满足

定理二

如果f(x)在区间

能展开成泰勒级数

则右端的幂级数是惟一的

以上两个定理暂时没有用到,这里只是做记录,没做资料查询证明

常见的麦克劳林级数

下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数

指数函数：

自然对数：

几何级数：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数:

参考博客