1、频域增强原理

在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。如果能让某个范围内的分量或某些频率的分量受到抑制而让其他分量不受影响，就可以改变输出图的频率分布，达到不同的增强目的。
频域空间的增强方法有三个步骤：
1、将图像从图像空间转换到频域空间；
2、在频域空间对图像进行处理；
3、将增强后的图像在从频域空间转换到图像空间；

卷积理论是频域技术的基础。设函数与线性位不变算子的卷积结果是，即,那么根据卷积定理在频域有：

其中分别是的傅里叶变换。用线性系统理论的话来说，是转移函数

2、低通滤波

低通滤波是要保留图像中的低频分量而去除高频分量。图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶频谱中的高频部分，所以在频域中的低通滤波可以除去或削弱噪声的影响并模糊边缘轮廓，与空域中的平滑方法类似。

2.1、理想的低通滤波器

一个二维理想低通滤波器的转移函数满足下列条件：

上式中，是一个非负整数。是从点到频率平面原点的距离，

低通滤波器转移函数示意图

2.2、巴特沃斯低通滤波器

物理上可以实现的一种低通滤波器是巴特沃斯低通滤波器。一个阶为n，截断频率为的巴特沃斯低通滤波器的转移函数为：

阶为1的巴特沃斯低通滤波器剖面示意图，由图可见低通巴特沃斯滤波器在高低频率间的过渡比较光滑，所以用巴特沃斯低通滤波器得到的输出图其振铃现象不明显

巴特沃斯低通滤波器转移函数剖面示意图

3、高通滤波

因为图像中的边缘对应高频分量，所以要锐化图像可用高通滤波器。高通滤波是要保留图像中的高频分量而去除低频分量。

3.1、理想的高通滤波器

一个二维理想高通滤波器的转移函数满足下列条件

理想的高通滤波器转移函数

3.2、巴特沃斯高通滤波器

一个阶为n，截断频率为的巴特沃斯高通滤波器转移函数

巴特沃斯高通滤波器转移函数剖面图

3.3、高频增强滤波器

一般图像中的大部分能力集中在低频分量里，高通滤波会将很多低频分量滤除，导致增强图中边缘得到加强但光滑区域灰度减弱变暗甚至接近黑色。为了解决这个问题，可以对频域里的高通滤波器的转移函数加一个常数以将一些低频分量加回去，获得既保持光滑区域灰度又改善边缘区域对比度的效果。这样得到的滤波器称为高频增强滤波器。

4、带通和带阻滤波

4.1、带阻滤波

带阻滤波器阻止一定频率范围内的信号通过而允许其他频率范围内的信号通过。如果这个频率范围下限是0（上线不为），则带通滤波器成为高通滤波器。如果这个频率范围上限是（下线不为0），则带通滤波器成为低通滤波器。
1、消除以为中心，为半径区域内所有频率的理想带通滤波器的转移函数：

其中：
2、考虑到傅里叶变换的对称性，为了消除不是以原点为中心的给定区域内的频率，带阻滤波器必须两两对称地工作

其中：


3、带阻滤波器可以设计成能去除以原点为中心的一定频率范围。这样一个放射对称的理想带阻滤波器的转移函数是：

其中为带的宽度，为放射中心。

4.2、带通滤波

带通滤波器允许一定频率范围内的信号通过而阻止其他频率范围内的信号通过。由上讨论可知，如果这个频率范围下限是0（上线不为），则带通滤波器成为低通滤波器。如果这个频率范围上限是（下线不为0），则带通滤波器成为高通滤波器。
带通滤波器和带阻滤波器是互补的。设为带阻滤波器的转移函数，则对应的带通滤波器只需将翻转即可

5、同态滤波

上面介绍的线性滤波器对消除加性高斯噪声很有效，但噪声和图像也常以非线性的方式结合，一个典型的例子就是用发光源照明成像时的情况，其中目标的反射以相乘的形式对成像作出贡献，此时可以采用同态滤波器。同态滤波增强是一种在频域中同时将图像亮度范围进行压缩和将图像对比度进行增强的方法。在同态滤波消噪中，先利用非线性的对数变换将乘性的噪声转化为加性的噪声。
一幅图像可以表示成他的照度分量与反射分量的乘积。根据这个模型可用下列方法把两个分量分开来并分别进行滤波

1、先对两边同时取对数

2、将上式两边取傅里叶变换：

3、设用一个频域增强函数处理：

4、反变换到空域：

5、在将上面两式取指数

这里的称为同态滤波函数，它可以同时作用于照度分量和反射分量上。因为一般照度分量在空间缓慢变化，而反射分量在不同物体的交界处急剧变化，所以图像傅里叶变换后的低频部分主要对应照度分量，而高频部分主要对应反射分量。