训练误差为0的SVM分类器一定存在吗

理论上，存在一组参数 $\{a_1,...,a_m,b\}$ 以及 $\gamma$ 使得SVM训练误差为0，但是这个参数不一定是满足SVM条件的一个解，在实际训练SVM模型时，会加入一个松弛变量，那么还能够保证得到的SVM分类器满足训练误差为0吗？
因此，我们需要找到一组参数，使得满足训练误差为0，且是SVM模型的解。
SVM模型解的限制条件是
$y^{(i)}f(x^{(j)})\ge 1$
目前我们得到的一组参数可以使得，当 $y^{(i)}=1$ 时， $f(x^{(j)})> 0$ ；当 $y(j)=-1$ 时， $f(x^{(j)})<0$ 。
因此，我们还需要满足的条件，
$y^{(j)}.f(x^{(j)})\ge1$
因此，对于公式，首先令b=0，则
$f(x)=\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}K(x^{(i)},x)$
因此，
$y^{(j)}f(x^{(j)})=y^{(j)}\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}K(x^{(i)},x^{(j)})$
$=a_jy^{(j)}y^{(j)}K(x^{(j)},x^{(j)})+\sum_{i=1,i\ne j}^m\alpha_iy^{(i)}y(j)K(x^{(i)},x^{(j)})$
$a_j+\sum_{i=1,i\ne j}^m\alpha_iy^{(i)}K(x^{(i)},x^{(j)})$
这里， $y^{(j)}y^{(j)}=1,K(x^{(j)},x^{(j)})=1$ 。 $\gamma$ 取值非常小，也就满足了 $y^{(j)}f(x^{(j)})>1$ 。此时满足了SVM的解条件，同时此时模型误差也为0。

加入松弛变量，SVM的训练误差可以为0吗

实际中使用SMO算法来训练加入松弛变量的线性SVM模型，并且惩罚因子为任一未知常数，也不一定可以得到训练误差为0的模型。
带松弛变量的SVM模型的目标函数包含这两项：
$C\sum_{i=1}^m\xi_i和\frac{1}{2}||\omega||^2$
当C=0， $\omega$ =0，达到了优化目标，此时训练误差不一定为0。