题目

难度：★★★☆☆
类型：数组
方法：动态规划

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给定一个长度为 n 的整数数组 A 。

假设 Bk 是数组 A 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 A 的“旋转函数” F 为：

F(k) = 0 * Bk[0] + 1 * Bk[1] + ... + (n-1) * Bk[n-1]。

计算F(0), F(1), ..., F(n-1)中的最大值。

注意:
可以认为 n 的值小于 105。

示例:

A = [4, 3, 2, 6]

F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26

所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。

解答

解决这道题，需要用到旋转函数的递推关系式：

这里给一个简单的证明：

给出一个数组A：

其相邻的两个旋转数组B：

对应的旋转函数为：

因此，错位相减（想起了高中等比差数列求前n项和）可以得到：

有了递推关系式，还需要一个初始情况，也就是预先求一遍F(0)。

class Solution:
    def maxRotateFunction(self, A):
        n, sum_a = len(A), sum(A)
        cur_max = f = sum([i*j for i, j in zip(range(n), A)])
        for k in range(n):
            f = f + sum_a - n * A[n-k-1]
            cur_max = max(f, cur_max)
        return cur_max

如有疑问或建议，欢迎评论区留言~

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