【算法笔记】递归

学习笔记，参考链接在文章末给出。强烈推荐的两个我正在学习的资源。

一、什么是递归？

1.递归是一种非常高效、简洁的编码技巧，一种应用非常广泛的算法，比如DFS深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等都是使用递归。
2.方法或函数调用自身的方式称为递归调用，调用称为递，返回称为归。
3.基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示，比如
f(n) = f(n-1) + 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2);
f(n)=n*f(n-1);

比如下方：

int func(你今年几岁) {
    // 最简子问题，结束条件
    if (你1999年几岁) return 我0岁;
    // 自我调用，缩小规模
    return func(你去年几岁) + 1;   
}

//斐波那契数列
int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

二、为什么使用递归？递归的优缺点？

1.优点：代码的表达力很强，写起来简洁。
2.缺点：空间复杂度高、有堆栈溢出风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。

三、什么样的问题可以用递归解决呢？

一个问题只要同时满足以下3个条件，就可以用递归来解决：
1.问题的解可以分解为几个子问题的解。何为子问题？就是数据规模更小的问题。
2.问题与子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
3.存在递归终止条件

四、如何实现递归？

1.递归代码编写
写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。
2.递归代码理解
对于递归代码，若试图想清楚整个递和归的过程，实际上是进入了一个思维误区。
那该如何理解递归代码呢？如果一个问题A可以分解为若干个子问题B、C、D，你可以假设子问题B、C、D已经解决。而且，你只需要思考问题A与子问题B、C、D两层之间的关系即可，不需要一层层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样子理解起来就简单多了。
因此，理解递归代码，就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

五、递归常见问题及解决方案

1.警惕堆栈溢出：可以声明一个全局变量来控制递归的深度，从而避免堆栈溢出。
2.警惕重复计算：通过某种数据结构来保存已经求解过的值，从而避免重复计算。

//优化斐波那契
public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList可以理解成一个Map，key是n，value是f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSolvedList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSolvedList.put(n, ret);
  return ret;
}

六、如何将递归改写为非递归代码？

笼统的讲，所有的递归代码都可以改写为迭代循环的非递归写法(递推)。如何做？抽象出递推公式、初始值和边界条件，然后用迭代循环实现。

//枚举是横向地把问题划分，然后依次求解子问题
//而递归是把问题逐级分解，是纵向的拆分。

/* 递推遍历，需要额外空间 O(1) */
public int size(Node head) {
    int size = 0;
    for (Node p = head; p != null; p = p.next) size++;
    return size;
}
/* 递归，需要额外空间 O(N) */
public int size(Node head) {
    if (head == null) return 0;
    return size(head.next) + 1;
}

//斐波那契的递推实现
int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

七、递归遍历二叉树

代码内容来自于labuladong.gitbook，强烈推荐。

树就是一种层次的，递归结构。我们可以利用递归的思想处理大部分树的问题。

//如何判断两棵二叉树是否完全相同？
boolean isSameTree(TreeNode root1, TreeNode root2) {
    // 都为空的话，显然相同
    if (root1 == null && root2 == null) return true;
    // 一个为空，一个非空，显然不同
    if (root1 == null || root2 == null) return false;
    // 两个都非空，但 val 不一样也不行
    if (root1.val != root2.val) return false;

    // root1 和 root2 该比的都比完了
    return isSameTree(root1.left, root2.left)
        && isSameTree(root1.right, root2.right);
}

//判断 BST 的合法性
boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    if (root.left != null && root.val <= root.left.val) return false;
    if (root.right != null && root.val >= root.right.val) return false;

    return isValidBST(root.left)
        && isValidBST(root.right);
}

//在 BST 中插入一个数
TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    // 找到空位置插入新节点
    if (root == null) return new TreeNode(val);
    // if (root.val == val)
    //     BST 中一般不会插入已存在元素
    if (root.val < val) 
        root.right = insertIntoBST(root.right, val);
    if (root.val > val) 
        root.left = insertIntoBST(root.left, val);
    return root;
}

//在 BST 中删除一个数
TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root == null) return null;
    if (root.val == key) {
        // 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
        if (root.left == null) return root.right;
        if (root.right == null) return root.left;
        // 处理情况 3
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        root.val = minNode.val;
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
    } else if (root.val > key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最左边的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
}

八、分治算法：归并排序

归并排序是典型的分治算法；分治，典型的递归结构。

分治算法可以分三步走：分解 -> 解决 -> 合并
分解原问题为结构相同的子问题。
分解到某个容易求解的边界之后，进行第归求解。
将子问题的解合并成原问题的解。

public class Merge {
    // 不要在 merge 函数里构造新数组了，因为 merge 函数会被多次调用，影响性能
    // 直接一次性构造一个足够大的数组，简洁，高效
    private static Comparable[] aux;

     public static void sort(Comparable[] a) {
        aux = new Comparable[a.length];
        sort(a, 0, a.length - 1);
    }

    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        if (lo >= hi) return;
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        sort(a, lo, mid);
        sort(a, mid + 1, hi);
        merge(a, lo, mid, hi);
    }

    private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
        int i = lo, j = mid + 1;
        for (int k = lo; k <= hi; k++)
            aux[k] = a[k];
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            if      (i > mid)              { a[k] = aux[j++]; }
            else if (j > hi)               { a[k] = aux[i++]; }
            else if (less(aux[j], aux[i])) { a[k] = aux[j++]; }
            else                           { a[k] = aux[i++]; }
        }
    }

    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) < 0;
    }
}

九、 其他一些递归算法，

举例来自leetcode

struct ListNode* mergeTwoLists(struct ListNode* l1, struct ListNode* l2){
    if(l1 == NULL)
        return l2;
    else if(l2 == NULL)
        return l1;
    else if(l1->val <= l2->val){
        l1->next = mergeTwoLists(l1->next, l2);
        return l1;
    }
    else{
        l2->next = mergeTwoLists(l1, l2->next);
        return l2;
    }
}

更多分治算法，leetcode divide-and-conquer

参考链接

递归详解
王争 数据结构与算法之美