（接上文曲线积分）

由于曲面积分和曲线积分的相似性，将两者类比会使得对曲面积分的理解变得更为简单。

3. 曲面积分

3.1 对面积的曲面积分

同之前的方式，我们用具体的例子来说明如何理解和计算对面积的曲面积分：计算面密度为变量的某曲面（如：非均匀外壳）的质量。
参照对弧长的曲线积分中的方式，我们的关键是需要知道曲面上的小块面积和坐标的关系。

《高等数学》图 10-38

由重积分在求曲面面积中的应用，容易得到它们的关系如下：

于是，易得对面积的曲面积分的计算公式为，

同对弧长的曲线积分一样，此处主要需要记住面积的微分

最后，再说一些我个人对于计算公式的理解。我们将对面积的曲面积分和一般的平面内二重积分作比较。会发现对面积的曲面积分和平面内的二重积分相比，是把积分区域从直到曲。
将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式和一般的平面内二重积分相比，发现多出来的部分是。我们可以将这个多出来的部分看作平面对曲面面积的“修正函数”（随便取的名），用来记录曲面投影成平面时，其面积之间的关系。这样，我们便可以以直（平面）代曲（曲面） 来计算积分值。

3.2 对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分计算公式如下。

这里的、、分别表示速度在，，轴的分量。为

参照对坐标的曲线积分，并从实际例子（流量）出发，我们可以将上述三个公式看作：将曲面和速度都分解三部分。曲面分解为平行于平面，平面和平面；速度分解为沿，，方向。（类比于对坐标的曲线积分中，将力和位移分解为，两个方向求功）。我们将以上三部合在一起，便是总的流量。

最后再拿一个比较数学的例子来说明。计算曲面积分，其中是球面外侧在的部分。
按照上述的理解方式，我们可以认为这是求一个只在平行于轴的方向有速度的速度场的流量，这个速度场在平面以上方向为轴正向，在平面以下为轴负向。

示意图

所以，在球面的上下两个部分，显然流量值都为正且相等。我们求上半部分的流量时，将用表示，所以

上述公式可以理解为：将上半部分的曲面分解为平行于的平面时，就是在平面的投影，此投影上每一小块代表原曲面分解为平行于的平面时的情形，不同区域的速度不一样，对这些不同的区域求流量累加，便是结果。表示每一个点对应的速度的大小，可以表示曲面被分解为平行于平面的情形。
当然，实际计算中不用想那么多，同计算对坐标的曲线积分一样，将被积函数（速度大小）同积分变量（哪个平面）相统一就好。

3.3 两类曲面积分之间的联系

同两类曲线积分之间的联系类似，两类曲面积分之间的联系

左边可以理解为将速度分解为沿方向，曲面分解为平行于，和平面分别求解，然后再相加来求流量，右边可以理解为将速度投影到曲面法向量方向直接相乘求流量。
或是向量形式，

左边可以理解为速度与曲面的法向量的数量积求流量，右边表示速度投影到曲面法向量方向相乘求流量。

（基本照着曲线积分的方式拓展一下思维就可以类比理解）
（未完待续）