题目描述

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例

示例 1：

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

解答方法

方法一：动态规划

思路

状态定义：
dp[i]的值代表 nums 前 i个数字的最长子序列长度。
转移方程： 设 j∈[0,i)，考虑每轮计算新 dp[i]时，遍历 [0,i)列表区间，做以下判断：

• 当 nums[i] > nums[j]时：nums[i] 可以接在 nums[j] 之后（此题要求严格递增），此情况下最长上升子序列长度为 dp[j] + 1；
  • 此情况 下计算出的dp[j]+1 的最大值，为直到 i 的最长上升子序列长度（即dp[i] ）。实现方式为遍历 j时，每轮执行 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。转移方程： dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)。
• 当 nums[i] <= nums[j]时： nums[i]nums[i] 无法接在 nums[j]之后，此情况上升子序列不成立，跳过。

转移方程： dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)。

初始状态：
dp[i]dp[i] 所有元素置 11，含义是每个元素都至少可以单独成为子序列，此时长度都为 11。

返回值：
返回 dpdp 列表最大值，即可得到全局最长上升子序列长度。

代码

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums)==0:
            return 0
        dp = [1] * len(nums)
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp)

时间复杂度

O(n^2),遍历计算 dpdp 列表需 O(N)O(N)，计算每个 dp[i]dp[i] 需 O(N)O(N)。

空间复杂度

O(N),dp列表占用线性大小额外空间。