关于函数f(x)等于它的极限加无穷小的简单理解

作者: 遨游于学海 | 来源:发表于2023-09-17 17:25 被阅读0次

这一事实（对于函数 $f(x)$ ,若 $\lim_{x->x_0}=A$ ，则 $f(x)=A+\alpha(x)$ ，其中 $\alpha(x)$ 是无穷小），刚看书的时候还不是很理解，但我似乎明白了。
如下：
（1）函数可以表示成它的极限和某个函数的和，因为这个函数不一定等于它的极限，这另外一个函数相当于“误差”，这里可以看成这个函数是两个函数的和，假定其中一个是极限（可以看作一个常值函数），那么这里就是函数的加法；
（2）极限 $A$ 是一个常数，因此 $\lim_{x->x_0} A=A$ ，因为常数可以看成常值函数，常值函数的极限就是它本身；
（3）
因为 $f(x)=A+\alpha(x)$ ，
所以 $\alpha(x)=f(x)-A$ ，
那么这么一个误差，即 $\alpha(x)$ 为什么是无穷小呢？
综上所述，可以得到 $\lim_{x->x_0} \alpha(x)=\lim_{x->x_0} (f(x)-A)=\lim_{x->x_0} f(x) - \lim_{x->x_0} A=A-A=0$ ，
因此 $\alpha(x)$ 是 $x->x_0$ 时的无穷小。
这里只是一个简单的理解，并非严谨的证明。