一、代数的分类：

算术：算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分，算术研究数的性质及其运算，把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学：算术。算术运算不仅仅指加减乘除，还可以是百分比、平方根、取幂和对数；算法的对象包括自然数、整数、有理数和实数、复数；进制不仅仅是十进制，还可以是二进制、十六进制、六十进制。算术的最大特点是关注具体数字。

初等代数：初等代数是古老算术的推广与发展，在古代，算术积累了大量数量问题的解法，为寻求更系统、更普遍的求解各种数量关系方法，就产生了以解方程为中心的初等代数。从实际问题的数量关系(即代数式：整式、分式、根式)、等量关系(或者不等式)列出方程或者方程组，方程(组)包括一元/二元一次方程、一元二次方程、指数和对数方程、无理方程、线性方程组等。

高等代数：相对于初等代数而言，本质上是一个东西，只是更加系统(深度+广度)，初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。

抽象代数：抽象代数、近世代数、现代代数指的都是同一个意思(甚至直接称为代数学)，抽象代数主要研究对象是代数结构（集合+操作），包括群、环、域、向量空间。

线性代数：线性代数是抽象代数特殊的一类，其代数结构为：向量空间(也叫线性空间) + 线性变换。很容易将线性代数和矩阵理论等同起来，但其实是不一样的，讨论线性变换是基于选定一组基的前提下。

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二、抽象代数基本概念

①抽象代数将初等代数的一些概念延伸：

(1)数→集合：集合在朴素集合论和公理化集合论的定义是不一样的，前者指由一些元素组成；后者指具有某种特定性质事物的总体。

(2)+、×→二元运算：+、×被抽象为二元运算*，对两个元素作二元运算，得到的新元素仍然属于该集合，这叫封闭性。

(3)0、1→单位元：0和1被抽象成单位元，0为加法单位元，1为乘法单位元。单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素，即满足a∗e=a与e∗a=a。可见，单位元取决于元素与二元运算，如矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵。值得注意的是，有些集合不存在单位元，如正整数集合没有加法单位元。

(4)负数、倒数→逆元素：负数、倒数推广到逆元素，对于加法，a的逆元素是-a；对于乘法，a的逆元素是倒数a−1。直观地说，逆元可以撤销操作，如加了一个数a，再加上该数的逆元-a(相当于撤消操作)，结果还是一样。

(5)结合律：结合律是某些二元运算的性质，有些二元运算没有结合律(如减法)。

(6)交换律：交换二元运算符两边的元素不影响结果，并不是所有二次元运算都满足交换律(如矩阵的乘法)。

②代数结构(R, *)

二元运算根据封闭性、单位元、逆元、结合律、交换律，可以归纳成不同的群：

图1

在交换群基础上，进一步限制条件有环、交换环、域间的关系如下：

图2

整环：在交换环的基础上，并满足没有零因子(集合内任意两个元素乘积均不等于0)。

向量空间：略。

模：在抽象代数中，在环上的模的概念是对向量空间概念的推广，这里不再要求标量位于域中，转而标量可以位于任意环中。

格：是任意两个元素都有上确界和下确界的偏序集合。

偏序集合：设R是非空集合A上的一个二元关系，若R满足自反性、反对称性、传递性，则称R为A上的偏序关系。