暑假的时候给闺女买了一本数学的教辅材料,开学以后闺女作业多,一直没工夫写,我怕书浪费了,就决定自己写一写。打开才发现有很多都是竞赛题,正好20多年没做过这样的题了,我也锻炼锻炼自己的脑细胞,防止一下老年痴呆吧!
左边荧光笔标出的公式我没有证明过 用一个并没有经过我证明而得到的公式推导的结论不能让我信服前天晚上做到了这道题,由于时间关系,虽然把题目给定的问题解决了,但给出的公式我并不知道是怎么来的,题目就这样陷入了一个死循环。以我爱刨根问底的性格,不弄个水落石出心里总觉得有事儿,就决定趁空把公式推倒一下。
论证如下:
1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容。
设:S=1²+2²+3²+…+n²
另设:S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²
此步设题是解题的关键
第一:S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²中的1²+2²+3²+…+n²=S
(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²可以展开为:
(n²+2n+1²)+( n²+2×2n+2²) +( n²+2×3n+3²)+…+( n²+2×nn+n²)=n³+2n(1+2+3+…+n)+ 1²+2²+3²+…+n²
即S₁=2S+n³+2n(1+2+3+…+n)————→(1)
第二:S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²
可以写为:S₁=1²+3²+5²…+ (2n-1)²+2²+4²+6²…+(2n)²
其中:
2²+4²+6²…+(2n)²=2²(1²+2²+3²+…+n²)=4S————————————→(2)
1²+3²+5²…+(2n-1)²
=(2×1-1)²+(2×2-1)²+(2×3-1) ²+…+ (2n-1)²
= (2²×1²-2×2×1+1) +(2²×2²-2×2×2+1)+(2²×3²-2×2×3+1)+…+ (2²×n²-2×2×n+1)
=2²×1²+2²×2²+2²×3²+…+2²×n²-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
=2²×(1²+2²+3²+…+n²)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n————→(3)
由(2)+ (3)得:S₁=8S-4(1+2+3+…+n)+n→(4)
由(1)与(4)得:2S+ n³+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
即:
6S= n³+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
=n[n²+n(1+n)+2(1+n)-1]
=n(2n²+3n+1)
=n(n+1)(2n+1)
S=n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即:S=1²+2²+3²+…+n²= n(n+1)(2n+1)/6————————→(5)
以上可得:
各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数。
由(5)代入(2)得:
自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数。
由(5)代入(3)得:
自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数。
结论:
1.动脑子解题的过程让人着迷,解出题目的成就感让人自信心爆棚;
2.特殊符号的输入虽然麻烦,但能条理清晰地呈现出来,可以让人更直观地感受到数学的美感;
3.用实际行动让孩子认识到用什么样的心态面对问题和困难,坚持、执着和努力到底是什么样子。
另:本人高中以后没学过和数学相关的任何知识,地道的文科生→所以,想陪孩子一起学习,一起长大,你也可以!
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