美文网首页婚姻育儿
哈哈~解决了一个问题,找到了青春的赶脚

哈哈~解决了一个问题,找到了青春的赶脚

作者: 媛媛啦呀 | 来源:发表于2019-11-29 13:09 被阅读0次

    暑假的时候给闺女买了一本数学的教辅材料,开学以后闺女作业多,一直没工夫写,我怕书浪费了,就决定自己写一写。打开才发现有很多都是竞赛题,正好20多年没做过这样的题了,我也锻炼锻炼自己的脑细胞,防止一下老年痴呆吧!

    左边荧光笔标出的公式我没有证明过 用一个并没有经过我证明而得到的公式推导的结论不能让我信服

    前天晚上做到了这道题,由于时间关系,虽然把题目给定的问题解决了,但给出的公式我并不知道是怎么来的,题目就这样陷入了一个死循环。以我爱刨根问底的性格,不弄个水落石出心里总觉得有事儿,就决定趁空把公式推倒一下。

    论证如下:

    1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容。

    设:S=1²+2²+3²+…+n²

    另设:S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²

    此步设题是解题的关键

    第一:S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²中的1²+2²+3²+…+n²=S

    (n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²可以展开为:

    (n²+2n+1²)+( n²+2×2n+2²) +( n²+2×3n+3²)+…+( n²+2×nn+n²)=n³+2n(1+2+3+…+n)+ 1²+2²+3²+…+n²

    即S₁=2S+n³+2n(1+2+3+…+n)————→(1)

    第二:S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²

    可以写为:S₁=1²+3²+5²…+ (2n-1)²+2²+4²+6²…+(2n)²

    其中:

    2²+4²+6²…+(2n)²=2²(1²+2²+3²+…+n²)=4S————————————→(2)

    1²+3²+5²…+(2n-1)²

    =(2×1-1)²+(2×2-1)²+(2×3-1) ²+…+ (2n-1)²

    = (2²×1²-2×2×1+1) +(2²×2²-2×2×2+1)+(2²×3²-2×2×3+1)+…+ (2²×n²-2×2×n+1)

    =2²×1²+2²×2²+2²×3²+…+2²×n²-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n

    =2²×(1²+2²+3²+…+n²)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

    =4S-4(1+2+3+…+n)+n————→(3)

    由(2)+ (3)得:S₁=8S-4(1+2+3+…+n)+n→(4)

    由(1)与(4)得:2S+ n³+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

    即:

    6S= n³+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

    =n[n²+n(1+n)+2(1+n)-1]

    =n(2n²+3n+1)

    =n(n+1)(2n+1)

    S=n(n+1)(2n+1)/ 6

    亦即:S=1²+2²+3²+…+n²= n(n+1)(2n+1)/6————————→(5)

    以上可得:

    各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数。

    由(5)代入(2)得:

    自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数。

    由(5)代入(3)得:

    自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数。

    结论:

    1.动脑子解题的过程让人着迷,解出题目的成就感让人自信心爆棚;

    2.特殊符号的输入虽然麻烦,但能条理清晰地呈现出来,可以让人更直观地感受到数学的美感;

    3.用实际行动让孩子认识到用什么样的心态面对问题和困难,坚持、执着和努力到底是什么样子。

    另:本人高中以后没学过和数学相关的任何知识,地道的文科生→所以,想陪孩子一起学习,一起长大,你也可以!

    相关文章

      网友评论

        本文标题:哈哈~解决了一个问题,找到了青春的赶脚

        本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/jhzwwctx.html