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小球放入盒子的方案数总结

小球放入盒子的方案数总结

作者: 壮志_凌云 | 来源:发表于2019-12-10 22:01 被阅读0次

n 个小球放入 m 个盒子的方案数目，分情况讨论如下（S_2 表示第二类斯特林数）：

1. 不同的小球，不同的盒子，可以有空盒：

每个小球可以放入任何一个盒子里，所以方案数是 m^n

2. 不同的小球，不同的盒子，不能有空盒：

先认为盒子是相同的，放入小球后再进行排列，所以方案数是 m! \ S_2(n,m)

3. 不同的小球，相同的盒子，可以有空盒：

非空盒的数量可以是 1,2,\dots,min\{m,n\}，所以方案数是 \sum_{k=1}^{min\{m,n\} } S_2(n,k)

4. 不同的小球，相同的盒子，不能有空盒：

方案数是 S_2(n,m) = \frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \left(\begin{array}{c} m \\ k \end{array}\right) (m-k)^n

5. 相同的小球，不同的盒子，可以有空盒：

可以认为是从 m 个盒子中挑选 n 个的可重复的组合，所以方案数是 \left( \begin{array}{c}m+n-1 \\ n \end{array} \right)

6. 相同的小球，不同的盒子，不能有空盒：

相当于每个盒子都放入一球后再计算 5. 中的问题，所以方案数是 \left(\begin{array}{c} n-1 \\ m-1 \end{array}\right)

7. 相同的小球，相同的盒子，可以有空盒：

相当于将整数 n 拆分为最多 m 个数的拆分数，母函数为：

 G(x) = \prod_{k=1}^m (1-x^k)^{-1}，方案数为 G(x) 中 x^n 项的系数

8. 相同的小球，相同的盒子，不能有空盒：

相当于将整数 n 拆分为 m 个数的拆分数，母函数为：

 G(x) = x^m \prod_{k=1}^m (1-x^k)^{-1}，方案数为 G(x) 中 x^n 项的系数

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