波的传播与衰减

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-05-22 19:20 被阅读0次

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波的传播与衰减

这一节纯抄书.

以来区域、决定区域和影响区域

二维：在 $(x,y,z,t)$ 空间内，取定一点 $(x_0,y_0,t_0)$ ，接在这点的数值是由初始平面 $t=0$ 上以 $(x_0,y_0)$ 为圆心、 $at_0$ 为半径的圆内的初始条件 $\varphi(x,y)$ 及 $\psi(x,y)$ 的积分所表达，而不依赖于园外 $\varphi$ 和 $\psi$ 的值. 因此平面 $t=0$ 上的圆

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leqslant a^2t_0^2\cdots①$
就称为点 $(x_0,y_0,t_0)$ 的依赖区域.

反之，初始平面 $t=0$ 上区域中的初始资料 $\varphi$ 与 $\psi$ 唯一决定了以 $(x_0,y_0,t_0)$ 为顶点、以该区域为底的圆锥体区域
$(x-x-0)^2+(y-y_0)^2\leqslant a^2(t-t_0)^2\;\;(t\leqslant t_0)\cdots②$
上的解. 因此，圆锥体②就称为平面 $t=0$ 上圆①的决定区域.

再考察初始平面上一点 $(x_0,y_0,0)$ 的影响区域，也就是说要求出这种点 $(x,y,t)$ 的全体，其依赖区域是包括点 $(x_0,y_0,0)$ 的。易件这种点满足条件
$(x_0-x0)^2+(y_0-y)^2\leqslant a^2t^2\;\;(t>0)\cdots③$

它再 $(x,y,t)$ 空间内构成一个以 $(x_0,y_0,0)$ 为顶点的圆锥体，其母线与 $t$ 轴的交角为 $\arctan a$ . 因此，圆锥体③称为初始平面上点 $(x_0,y _0,0)$ 的影响区域.

三维的时候，超平面 $t=0$ 上的球面
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z _0)^2=a^2t_0^2$
就是点 $(x_0,y_0,z_0,t_0)$ 的依赖区域.

同时，初始平面 $t=0$ 上求面内部区域的决定区域就是，以他为敌，以 $(x_0,y_0,z_0,t_0)$ 为顶点的圆锥体区域
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=a^2(t_0-t)^2\;(t\leqslant t_0)$

相应地，初始平面 $t=0$ 上一点 $(x_0,y_0,z_0,0)$ 的影响区域就是锥面
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=a^2t^2\;(t>0)$

初始平面上任一给定区域的影响区域就是过其上每一点所作锥面的全体所形成的区域，我们把锥面 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=a^2(t-t_0)^2$ 称为三维波动方程的特征锥.

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波动方程解的衰减

若初始资料 $\varphi,\psi$ 具有紧支集，则存在一个常数 $\rho>0$ ，使 $\varphi$ 及 $\psi$ 在以原点为球心， $\rho$ 为半径的球 $B_{\rho}^{O}$ 外恒为零，而在球 $B_{\rho}^{O}$ 内成立
$|\psi|,|\varphi|,\left|\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}\right|\leqslant C_{1}\;\;\;(i=1,2,3)$

其中 $C_1$ 为一个正常数.

泊松公式:
$\displaystyle u(x,y,z,t)=\dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{1}{4\pi a^2t}\underset{S_{at}^M}{\iint}\varphi\text{d}S\right)+\dfrac{1}{4\pi a^2t}\underset{S_{at}^M}{\iint}\psi\text{d}S$

进行改写
$\displaystyle\dfrac{1}{4\pi a^2t}\underset{S_{at}^M}{\iint}\varphi\text{d}S=\dfrac{1}{4\pi}\underset{|\alpha|=1}{\iint}t\varphi(x_1+at\alpha_1,x_2+at\alpha_2,x_3+at\alpha_3)\text{d}\omega$
其中 $\text{d}\omega$ 为单位球面的面积微元. 对 $t$ 求导一次，可得
$\begin{aligned} &\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{1}{4\pi a^2t}\underset{S_{at}^M}{\iint}\varphi\text{d}S\right)\\ =&\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{t}{4\pi}\underset{S_1}{\iint}\varphi(x+at\alpha)\text{d}\omega\right)\\ =&\dfrac{1}{4\pi}\left(\underset{S_1}{\iint}\varphi(x+at\alpha)\text{d}\omega+\underset{S_1}{\iint}at\sum_{i=1}^3\varphi_{x_i}(x+at\alpha)\cdot\alpha_i\text{d}\omega\right)\\ =&\dfrac{1}{4\pi a^2t^2}\underset{S_{at}^M}{\iint}[\varphi(M')+\nabla\varphi(M')\cdot\overline{MM'}]\text{d}S_{M'} \end{aligned}$
其中 $M'$ 为积分球面上的变动点，而 $\text{d}S_{M'}$ 为面积微元. 于是泊松公式可以写成
$\displaystyle u(M,t)=\dfrac{1}{4\pi a^2t^2}\underset{S_{at}^{M}}{\iint}\left[t\psi(M')+\varphi(M')+\nabla\varphi(M')\cdot\overline{MM'}\right]\text{d}S_{M'}$

又有 $\varphi,\psi$ 及 $\varphi$ 的一阶偏导数仅在 $B_{\rho}^{O}$ 内不为零，上述积分仅需在 $S_{at}^{M}\bigcap B_{\rho}^{O}$ 上进项，由于 $|\overline{MM'}|=at$ ，因此
$|t\psi(M')+\varphi(M')+\nabla\varphi(M')\cdot\overline{MM'}|\leqslant C_2t+C_3$
其中 $C_2,C_3$ 为正常数. 此外求面 $S_{at}^{M}$ 与球 $B_{\rho}^{O}$ 的交集的面积不超过 $B_{\rho}^{O}$ 的表面积，即
$(S_{at}^{M}\bigcap B_{\rho}^{O})$ 的面级 $\leqslant4\pi\rho^2$
于是，当 $t\geqslant1$ 时，
$\begin{aligned} |u(M,t)| \leqslant&\dfrac{1}{4\pi a^2t^2}\underset{S_{at}^{M}\cap B_{\rho}^{O}}{\iint}|t\psi(M')+\varphi(M')+\nabla \varphi(M')\cdot\overline{MM'}|\text{d}S_{M'}\\ \leqslant&\dfrac{1}{4\pi a^2t^2}(C_2t+C_3)\cdot4\pi\rho^2\\ \leqslant& Ct^{-1} \end{aligned}$

其中 $C$ 为一正常数.

当 $t\to\infty$ 时，波动方程柯西问题的解 $u(x,t)$ 将以 $t^{-1}$ 的阶趋于零. 它称为三维波动方程柯西问题的解的衰减估计. 由此可见，如果初始资料具有紧支集，那么当 $t\to\infty$ 时，柯西问题的解将一致地趋于零，其趋于零的阶数为 $t^{-1}$ .