平方差公式（三）拓展公式

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平方差公式的拓展：研究一下平方差到n次方差的规律

a²-b²=(a-b)(a+b)

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

a^4-b^4=(a-b)(a³+a²b+ab²+b³)

aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+ … +ab^(n-2)+b^(n-1))

以上这些公式都可以用整式除法(大除法)得到，例如(a³-b³)÷(a-b)=a²+ab+b²

为了容易理解可以把b当做常数

              +a²  +ba  +b²

a-b  |a³ +0a²  +0a  -b³

        a³  -ba²

              ba²  +0a  -b³

              ba²  -b²a     

                      b²a  -b³

                      b²a  -b³

                                0

通过这个拓展公式的规律，可以知道a-b可以整除aⁿ-bⁿ。

例题3：已知n=2020，求xⁿ+2除以x-1的余数

xⁿ-1=xⁿ-1ⁿ 所以它能被x-1整除

所以xⁿ+2=(xⁿ-1)+3，即余数是3。