MIT 线性代数 21 特征值和特征向量

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-05-20 17:11 被阅读0次

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特征值和特征向量

思考如下等式
$Ax=\lambda x$ ,其中 $A$ 表示矩阵, $\lambda$ 是一个数字
也就是是说，一个矩阵作用于一个向量，其效果等同于某个常数乘以向量本身。

那么就把这里的 $x$ 称之为是矩阵 $A$ 的特征向量，而 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的关于特征向量 $x$ 的特征值

换言之，矩阵乘以向量后，得到的向量和原来的向量方向相同，忽略向量前后长度的变化

这里思考一下如果特征值为 $0$ 的时候，特征向量有什么特别的地方

特征值为0，则原方程可以写成 $Ax=0$ ,此时特征向量就是零空间的向量
当 $A$ 为非奇异的时候，零空间只有零向量
当 $A$ 为奇异矩阵的时候，零空间这是零空间基向量的线性组合，即所有零空间向量都是其特征向量

这里思考投影矩阵的特征值和特征向量

对投影矩阵 $P$ ，而言，我们知道 $Px=x$ 对于属于投影矩阵列空间组合的任意x都成立，此时 $\lambda=1$
对于任意垂直于投影平面的x而言有 $Px=0$ ，此时 $\lambda=0$

对于一般性的矩阵而言比如矩阵

$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}$ ,凭直觉，我们知道矩阵 $A$ 作用于 $x$ 相当于对 $x$ 的两个变量进行交换，于是我们可以猜测一下其中一个特征向量是 $x=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}$ ， $\lambda_1 = 1$ ,
而另一个是 $x=\begin{bmatrix}-1\\1 \end{bmatrix}$ $\lambda_2 = -1$
我们注意到
$\lambda_1*\lambda_2=-1=det(A)$
$\lambda_1+\lambda_2=0$

这里提前讲一个性质： $n\times n$ 矩阵有 $n$ 个特征值， $n$ 个特征值的和等于矩阵主对角元素的和（这个和也叫矩阵的迹）， $n$ 个特征值的积等于矩阵行列式的值

前面说的都是一些特殊的矩阵，那么对于一般的矩阵 $A$ ，如何求解 $Ax=\lambda x$ ,
很简单，我们把等式化成 $(A-\lambda I)x=0$ 的形式
当 $x$ 就是零向量，方程显然有解，但是这个不是我们关心的，我们更关心 $x$ 不等于 $0$ 向量的时候，也就是要使得方程的解不只含有零空间，意味着要求 $(A-\lambda I)$ 是一个奇异矩阵，我们知道奇异矩阵不满秩，即行列式为 $0$
于是我们只要通过求解 $det(A-\lambda I)=0$ 的时候符合条件的 $\lambda$ 和对应的特征向量即可

演示对矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3 \end{bmatrix}$ 的特征值的计算，这里先略过

演示对标准正交矩阵 $Q$ 的特征值和特征向量的求解，假如 $Q$ 是绕 $z$ 轴旋转 $90$ 度的 $2\times 2$ 矩阵
$Q=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0 \end{bmatrix}$

首先我们可以看到有
$\lambda_1*\lambda_2=det(Q)=1$
$\lambda_1+\lambda_2=0$

从直觉上来说，因为矩阵是旋转矩阵，所以实空间里面不存在一个向量旋转 $90$ 度之后还和开始一样。
不过我们还是尝试进行一下计算
首先 $Q-\lambda I=\begin{bmatrix}-\lambda&-1\\1&-\lambda \end{bmatrix}$
令 $det(Q-\lambda I)=\lambda^2+1=0$
于是 $\lambda_1=i,\lambda_2=-i$ 这里很神奇的出现了复数

事实上，如果矩阵式对称的，或者是接近对称的，其特征值就是实数，而如果越不对称，就像上面这个 $Q$ ,他是反对称矩阵，那么其特征值就越接近纯虚数

考察矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1\\0&3 \end{bmatrix}$

$A-\lambda I=\begin{bmatrix}3-\lambda&1\\0&3-\lambda \end{bmatrix}$

通过计算我们得出 $\lambda_1=\lambda_2=3$ ,这样的矩阵称为退化矩阵

代入 $A-\lambda I=\begin{bmatrix}0&1\\0&0 \end{bmatrix}$ 对于 $\lambda_1$ 我们能找到一个特征向量为 $\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}$ ,但对于 $\lambda_2$ 我们找不到第二个特征向量了

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