1.函数（Functions）
A function is a rule for transforming an object into another object. The object you start with is called the input, and comes from some set called the domain. What you get back is called the output; it comes from some set called the codomain.
函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入, 来自称为定义域（domain）的集合. 返回对象（转化后的对象）称为输出, 来自称为上域（codomain）的集合。
例如：，定义的是一个函数f，该函数将任何数变为它的平方数。顺便要说的是，
是转化的规则，而
是将这个转换规则应用于变量
后得到的结果。因此，说“
是一个函数”是不正确的，应该说“
”。
- 定义域(domain): 所有可能输入的值的集合，即变量
的取值范围。
- 上域（codomain）：所有可能输出值的集合。
-
值域（range）：值域是上域的子集（subset），是所有实际可以输出值的集合。
函数可以将任何对象按照一定的规则进行转化，而不仅是数值。例如：
函数的定义域是所有动物的集合，则
。
一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出。
1.1 区间表示法（Interval notation）
区间表示法适合表示实轴（real line）的某个相连的区间（connected intervals）。
- 闭区间(closed)：[a,b] 。表示的是介于a、b之间的实数的集合。包括了终点（endpoints）的值a、b。
- 开区间（open）：(a,b)。表示的是介于a、b之间的实数的集合。不包括终点（endpoints）的值a、b。
-
半开半闭区间：[a,b)。表示的是介于a、b之间的实数的集合。包括a的值，不包含b的值。(a,b]，也表示的是介于a、b之间的实数的集合，不包括a的值，包括b的值。
1.2 求定义域
大多数情况下，函数的定义域是没有给出的。按照惯例，定义域是包括尽可能多的实数的集合。然后，定义域可能不会是实数集中的所有实数。例如，
,应为不可能得到一个负数的平方根，其定义域一定是
。
最常见的不能取值的情况如下：
- 分数的分母不能是零。
- 不能取一个负数的平方根（或四次根、六次根、等等）。
- 不能取一个零或负数的对数
看下面的例子：
首先，需要取的平方根，这个量不能是负数。所以，
，也就是
。我们也需要取
的对数，这个量也必须是正的，即
,
。目前为止，我们知道
,所以，定义域最多为(-8,13]。又因为分母不能为0，这就是说
。换句话说，
。因为，我们知道
。这里的反斜杠表示不包括。
1.3 利用图像求值域
定义一个函数F，指定其定义域为[-2,1]，并且在此定义域上。F的值域是什么呢？利用图像求值域是一个很好的方法。其思想是：画出函数图像，然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向y轴水平射入两束亮光，曲线会在y轴上投射两个影子。一个在y轴的左侧，一个在y轴的右侧，值域就是影子的并集。也就是说，如果y轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里，那么它就处于函数的值域中。如下图：
上图中，左侧的影子覆盖了y轴从0到4的所有点，也就是[0,4]；另一方面，右侧的影子覆盖了y轴从0到1的所有点，也就是[0,1]。F函数的值域即两个影子的并集[0,4]。
1.4 垂直检验
函数的图像是所有坐标为的点的集合。我们以某个实数开始，如果
在定义域中，则在坐标中画出点
，这个点在
轴的点
的垂直线上，距离
轴高度为
。如果
没有在定义域中，则坐标中部存在该点。现在，对于每一个实数
，我们重复这一个过程，从而构造出函数的图像。
垂直检验用于判断画出的图形是否是函数的图像。它的思想是：不可能有两个点有相同的坐标。换句话说，在图像上没有两个点会落在相对于
轴的同一条垂线上。要不然，我们如何知道在点
上的两个或多个坐标点中，哪一个坐标点的高度（y值）对应了
的值呢？。
下图中的对象是一个函数的图像吗？为什么？
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