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14讲by王畅

14讲by王畅

作者: 只是不想输 | 来源:发表于2019-03-24 20:21 被阅读0次

静电场库伦定律

知识点

  • 电场和电势分别描述的什么？（电场描述的是力学性质，电势描述的是功与能量的性质）

  • 电量为Q的点电荷(场源电荷)，在距离它为r的场点产生的电场和电势分别为？（E=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r^2}
    U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r})

  • 电场和电势遵守何种叠加原理？(电场遵循矢量叠加定理，电势就是标量相加减）

表达题
  1. 电量分别为Q_{1}=1和Q_{2}=2的点电荷(场源电荷)，相距为d=2r=2​，则其连线中点处产生的电场和电势分别为

解答：以向左为正方向，设连线中心点为A，则Q_1对A的场强E_1=-\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q_1}{r^2}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}
Q_2对A点的场强为E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q_2}{r^2}=\frac{2}{4\pi\epsilon_{0}}
则A的总场强为E=E_1+E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}

U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r}
U=U_1+U_2=\frac{3}{4\pi\epsilon_{0}}

  1. 电量分别为Q_{1}=Q_{2}=1和Q_{3}=Q_{4}=-1的四个点电荷，分别位于正方形(边长d=\sqrt{2})的四个顶点上。则其中心点处产生的电场和电势分别为

提示：对电场采用矢量叠加，对电势用标量叠加。
答：E_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q_1}{r^2}
E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q_2}{r^2}
E_3=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q_3}{r^2}
E_4=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q_4}{r^2}
总场强E=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{2\sqrt{2}Q}{r^2}=\frac{\sqrt{2}}{4\pi\epsilon_0}方向向下
总电势U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r}=0(等量异种点电荷在中心出电势为0）

  1. 电量分别为Q_{1}=Q_{3}=1和Q_{2}=Q_{4}=-1的四个点电荷，分别位于正方形(边长d=\sqrt{2})的四个顶点上。则其中心点处产生的电场和电势分别为

解答：由（2）中知总场强为E=\frac{\sqrt 2}{4\pi\epsilon_{0}} 方向向右
电势U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r}=0

  1. 一个电量为dq的点电荷，在距离它为r的场点产生的电场和电势为

解答：由库伦定律得
电场E=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{r^2}
电势U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{r}

  1. 均匀带电的圆细环(Q,R)在环心O处的场强和电势分别为()

解答：用积分法，把圆环分为很多小段，每段带电量为dq,则每段对中心点的
电场 E_0=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{R^2}
电势U_0=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{R}
则对其积分，总场强E=0，因为圆是对称图形，场强是矢量，叠加后为0。
总电势U=\int_{0}^{Q}E_0=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R}

  1. 物理强调建模。如图，求均匀带电的细棒在场点P处的电场和电势，微元取为位于x到x+dx的一段，则微元公式中的dq和r分别为

解答：

  1. 如图，求均匀带电的半圆细环在场点O处的电场和电势，经常把微元取为位于\theta到\theta+d\theta的一段，则公式中的dq为

解答：

  1. 积分法求场强，经常需要定性分析合场强的方向。如图，均匀“带负电”的细棒在场点M点和N点的电场方向分别为

解答：

  1. 如图，均匀带异号电的半圆细环在圆心O点的电场方向为

解答：

  1. 细棒或细环带电体求电场\vec{E}的思路是：
  • (a)考虑带电体的对称性，分析出合场的方向，记为\vec{e}；
  • (b)取合适的电荷微元dq，找到该微元到场点的距离r，
  • (c) 借助点电荷公式，写出微元在场点产生的电场大小dE，进而写出dE在合场方向\vec{e}上的投影dE_{x}=dE\cdot\cos\theta。
  • (d)计算定积分。
    现在求均匀带电的细棒(Q,L)在场点P处的电场，让我们按照以上四个步骤研究该问题。
    第一步，定性分析出该场点合场强的方向，可能的结果为
  • (1) \vec{e}_{x}
  • (2) \vec{e}_{y}
    第二步以中点为原点建立坐标轴。微元取为位于x到x+dx的一段，则公式中的dq和r分别为
  • (3) dq=\frac{Q}{L}\cdot dx，r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}
  • (4) dq=\frac{Q}{L}\cdot dx，r=\sqrt{h^{2}+4x^{2}}
    第三步分析该微元的场强dE，以及dE在合场方向\vec{e}上的投影，可能的结果为
  • (5) dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}
  • (6) dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}
    第四步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法
  • (7) \int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}
  • (8) \int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}
    则正确的方程组是( )

解答：

  1. 现在求均匀带电的半圆细环(Q,R)在环心O处的电场，让我们按照以上四个步骤研究该问题。
    第一步，定性分析出该场点合场强的方向，可能的结果为

解答：

第二步，微元取为位于\theta到\theta+d\theta的一段圆弧，则公式中的dq和r分别为

解答：

第三步分析该微元的场强dE，以及dE在合场方向\vec{e}上的投影，可能的结果为

解答：

第四步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法

解答：

  1. 细棒或细环带电体求电势V的思路更简单，因为电势是标量叠加原理。其基本思路是，
    (a)取合适的电荷微元dq，找到该微元到场点的距离r，
    (b)借助点电荷公式，写出微元在场点产生的电势dV，
    (c)计算定积分。
    现在求均匀带电的半圆细环(Q,R)在环心O处的电势
    第一步，微元取为位于\theta到\theta+d\theta的一段圆弧。则公式中的dq和r分别为
    (1) dq=\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta，r=R
    (2) dq=\frac{Q}{R\pi}\cdot d\theta，r=R
    第二步写出该微元在该点的电势dV，可能的结果为
    (3) dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}
    (4) dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}\cdot\sin\theta
    第三步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法
    (5) \int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}
    (6) \int_{0}^{\pi R}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\sin\theta
    则正确的方程组是( )

解答：

  1. 细棒或细环带电体求电势V的思路更简单，因为电势是标量叠加原理。 现在求均匀带电的细棒(Q,L)在中心O处的电势。
    第一步，微元取为位于x到x+dx的一段圆弧，则dq和r分别为

解答：

第二步写出该微元在该点的电势dV，

解答：

第三步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分

解答：

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